Задача д4
Дано:
Найти:
в момент, когда
Решение
1
2
3
300
Рис.1
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:
Так
как система состоит из абсолютно твёрдых
тел, соединённых нерастяжимыми нитями,
то сумма работ внутренних сил системы
равна нулю:
.
В начальном положении система находится
в покое, следовательно,
.
Теперь уравнение примет вид:
Кинетическая энергия системы в конечном положении равна сумме кинетических энергий всех тел системы:
(2)
Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно:
Кинетическая энергия тела 2, вращающегося вокруг неподвижной оси:
Кинетическая энергия тела 3, совершающего плоскопараллельное движение:
Моменты инерции тел равны:
Подставив все данные в формулу (2), получим:
Выразим
входящие сюда скорости
через скорость
груза 1.
Из схемы на рис. 1 определим:
Определим положение мгновенного центра скоростей катка 3 (рисунок). Тогда
Подставим полученные выражения скоростей в равенство (3):
Найдём
сумму работ всех внешних сил, приложенных
к системе, на заданном перемещении
груза 1.
Работа силы трения скольжения груза 1:
Работа силы веса катка 3:
Работа силы трения качения катка 3:
Работа силы :
Выразим
перемещения
через перемещение
груза 1. При этом учтём, что зависимость
между перемещениями такая же, как и
между соответствующими скоростями:
Подставим найденные перемещения в выражения работ и определим их сумму:
Подставив числовые данные, получим при :
По
теореме (2) приравняем значения T
и
:
Подставим числовые данные и определим скорость груза:
Ответ:
Задача д5
Дано:
Найти:
Решение
1 2
300
3
Рис. 1. Схема механической системы
1. Выразим угловые перемещения колёс через перемещение груза :
Определим
значение силы
,
при котором система будет находиться
в покое. Для этого воспользуемся принципом
возможных перемещений.
Сообщим
системе возможное перемещение в
направлении действия силы
.
При этом груз 3 поднимется на величину
,
колесо 1 повернётся на угол
по часовой стрелке, а колесо 2 повернётся
на угол
против
часовой стрелки (рис.2).
1
2
3
Ф
Рис.2
Для
неподвижной механической системы сумма
элементарных работ активных сил
.
(3)
Используя
уравнения связи (1) и (2) выразим в уравнении
(3) возможные перемещения
и
через
:
Сократив на и подставив численные значения исходных данных, получим:
2. Для определения ускорения груза 3 и угловых ускорений колёс воспользуемся общим уравнением динамики
где
сумма
элементарных работ сил инерции.
Выберем
направление ускорения груза 3. Оно,
очевидно, будет направлено вверх,
поскольку под действием силы
колесо 2 поворачивается против часовой
стрелки. На рис.2 показаны направление
ускорения груза
и направления угловых ускорений
.
Приложим к каждому телу системы главный вектор и главный момент сил инерции.
Груз
3 движется поступательно и его силы
инерции приводятся только к главному
вектору
.
Колёса
1 и 2 совершают вращательное движение и
их силы инерции приводятся к главным
моментам
и
.
Здесь
Составим
общее уравнение динамики, при этом
.
Подставим
в это уравнение
:
Используя уравнения связи (1) и (2) выразим в этом уравнении возможные перемещения и через :
Дифференцируя дважды по времени уравнения связи, выразим угловые ускорения колёс через ускорение груза :
Подставим эти соотношения в уравнение (4):
Сократив на и проделав элементарные алгебраические преобразования, получим:
Произведём вычисления:
Находим угловые ускорения колёс:
3. Для определения реакций внешних и внутренних связей воспользуемся методом кинетостатики. Система, к каждому телу которой кроме активных сил и реакций связей приложен главный вектор и главный момент сил инерции, находится в состоянии покоя и её можно рассматривать как неподвижную составную конструкцию, используя уравнения равновесия статики. Внешними связями являются подшипники и . Внутренние связи – это нить, соединяющая груз 3 с колесами 1 и 2, и точка контакта этих колёс.
Разъединим систему, показанную на рис. 2, по внутренним связям на отдельные тела и рассмотрим равновесие каждого тела.
Груз 3
Ф
Рис.3
Уравнения равновесия груза 3:
(9)
(10)
Из уравнения (10) находим натяжение нити:
Колесо 2
Рис.4
Уравнения равновесия:
Из
уравнения (13) находим усилие
,
при этом численно
:
Из уравнения (12) находим :
Колесо 1
Рис.5
Уравнения равновесия:
Из уравнения (14) находим :
Из уравнения (15) находим :
Уравнение (16) используем для проверки правильности решения:
