3.4. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона.

Пусть f  C² и, более того, f  удовлетворяет условию Липшица с константой L. Пусть f сильно выпукла с константой . Пусть V_x* — окрестность решения задачи (1), состоящая из точек x  R^m таких, что

||f (x)|| <  22 L .

Тогда для x⁰  V_x* метод Ньютона квадратично сходится:

||xn  x*||   2 L q2n,

где q = L||f (x⁰)||/2² < 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2.9 и 2.10 в условиях нашей теоремы решение x* задачи (1) существует и единственно. Воспользуемся аналогом формулыНьютона — Лейбница для функции f :

f (xn + h)  f (xn) =



1 0

f (xn + sh)h ds.

Вычитая из обеих частей этого равенства f (xⁿ)h = ₀¹f (xⁿ)h dsи учитывая, что f  удовлетворяет условию Липшица, получаем (ср.).

||f (xn + h)  f (xn)  f (xn)h|| 

 



1 0

[f (xn + sh)  f (xn)]h ds

 



   1 0 ||f (xn + sh)  f (xn)|| · || h|| ds    1 0 Ls||h||2ds =  L 2 ||h||2.

Положим в полученной оценке h = [f (xⁿ)]^1f (xⁿ):

||f (xn + h)  f (xn) + f (xn)[f (xn)]1f (xn)|| = || f (xn+1)||    L 2 ||[f (xn)]1f (xn)||2   L 2 ||[f (xn)]1||2·||f (xn)||2.

(10)

Поскольку f сильно выпукла, f (xⁿ)   и поэтому (см. пред. задачу) ||[f (xⁿ)]^1||  ^1. Продолжая неравенство (10), получаем

||f (xn+1)||   L 22 ||f (xn)||2.

(11)

С помощью (11) индукцией по n легко доказывается неравенство

||f (xn)||     L 22   2n1 ||f (x0)||2n =  22 L   L 22 ||f (x0)||   2n  =  22 L q2n.

(12)

Наконец, в силу сильной выпуклости f, так как x* — решение задачи (1) и, следовательно, f (x*) = Q,

0  f(x*)  f(xn)  (f (xn), x*  xn) + ||xn  x*|| 2,

или

(f (xn), xn  x*)  || xn  x*|| 2.

Но тогда

||xn  x*|| 2  (f (x*), xn  x*)  ||f (x*)|| · ||xn  x*||,

откуда ||f (x*)||  || xⁿ  x*||. Тогда из (12) следует нужное неравенство.