5. Сравнительная оценка силы связи длины дороги с расходом с помощью среднего коэффициента эластичности

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится пассажирооборот железнодорожных перевозок y от своей средней величины при изменении длины дороги x на 1% от своего среднего значения. Он может быть вычислен по формуле:

Э = y' (x)· / ŷ¯.

С учетом приведенной формулы средний коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

ŷ_x = -6651,2168+ 3,2110* x

примет вид:

Э = y' (x)· / ŷ¯= b· / ( a + b ) = 3,2110· 5379,5625/ (-6651,2168+ 3,2110· 5379,5625) = 1,626.

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии ŷ _x = 0,0006 x ^1,9214

вычисляется по соотношению:

Э = y' (x)· / ŷ¯= a·b·x^b¬1·( x/a·x^b) = b = 1,9214.

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии ŷ_x = 833,7334 (1,0004) ^x равен 1,45.

Таким образом, исходя из разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% длины, например Западно-Сибирской дороги, приводит к увеличению на (1,626-1,45)% пассажирооборота. При этом, по линейной модели это увеличение составляет 0,63%, по степенной функции регрессии – 1,9214 %, а по показательной функции регрессии – 1,45 %.

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

Оценка статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H₀, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияние на результат y, то есть длина железной дороги не оказывает влияния на пассажирооборот. Альтернативная гипотеза H₁ будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

F_факт = S_факт² / S_ост²,

где S_факт² – фактическая выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_факт² = ((ŷ _x1 - )² + (ŷ _x2 - )² + ....+ (ŷ _x16 - )²)/ 1;

S_ост² - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_ост² = ( (y₁ - ŷ_x1)² + (y₂ - ŷ_x2)² + ....+ (y₁₇ - ŷ_x16)² )/ n - 2;

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H₀ необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное F_табл значений F-критерия Фишера – это максимальное величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α, который примем равным 0,05.

Если F_табл < F_факт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если F_табл > F_факт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая не значимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05 и степенях свободы к₁ = 1, к₂ = 14 получаем F_табл = 4,63. Выполнив расчет получим F_факт = 24,93

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что F_табл < F_факт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.