Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессии
Центральное
место в дисперсионном анализе занимает
разложение общей суммы квадратов
отклонения результирующего показателя
y
от его среднего значения
на 2 части, а именно на объясненную
(факторную) и остаточную.
n n n
∑(yi - )2 = ∑( ŷxi - )2 + ∑(yi - ŷxi )2, (*)
i=1 i=1 i=1
где
∑(yi - )2 – общая сумма квадратов отклонений;
∑( ŷxi - )2 – объясненная (факторная) сумма квадратов;
∑(yi - ŷxi )2 – остаточная сумма квадратов.
Таблица 2.4.
№ |
yi |
yi-ȳ |
(yi-ȳ)2 |
ŷxi |
ŷxi-ȳ |
(ŷxi-ȳ)2 |
yi-ŷxi |
(yi-ŷxi)2 |
1 |
20653 |
10030,5000 |
100610930,2500 |
25930,6901 |
15308,1901 |
234340683,2139 |
-5277,6901 |
27854012,4731 |
2 |
39063 |
28440,5000 |
808862040,2500 |
22816,0306 |
12193,5306 |
148682188,4340 |
16246,9694 |
263964014,7633 |
3 |
14188 |
3565,5000 |
12712790,2500 |
16361,9424 |
5739,4424 |
32941199,2100 |
-2173,9424 |
4726025,6142 |
4 |
9307 |
-1315,5000 |
1730540,2500 |
14217,0017 |
3594,5017 |
12920442,2042 |
-4910,0017 |
24108116,3292 |
5 |
12544 |
1921,5000 |
3692162,2500 |
12810,5884 |
2188,0884 |
4787730,9189 |
-266,5884 |
71069,3839 |
6 |
4105 |
-6517,5000 |
42477806,2500 |
12714,2587 |
2091,7587 |
4375454,6357 |
-8609,2587 |
74119336,0905 |
7 |
9472 |
-1150,5000 |
1323650,2500 |
12627,5620 |
2005,0620 |
4020273,7652 |
-3155,5620 |
9957571,7584 |
8 |
13252 |
2629,5000 |
6914270,2500 |
10925,7378 |
303,2378 |
91953,1558 |
2326,2622 |
5411495,8811 |
9 |
10212 |
-410,5000 |
168510,2500 |
8909,2366 |
-1713,2634 |
2935271,4660 |
1302,7634 |
1697192,4674 |
10 |
7149 |
-3473,5000 |
12065202,2500 |
8784,0080 |
-1838,4920 |
3380052,7358 |
-1635,0080 |
2673251,2474 |
11 |
10428 |
-194,5000 |
37830,2500 |
7181,7244 |
-3440,7756 |
11838936,4368 |
3246,2756 |
10538304,9949 |
12 |
4757 |
-5865,5000 |
34404090,2500 |
6844,5706 |
-3777,9294 |
14272750,6863 |
-2087,5706 |
4357950,9354 |
13 |
6504 |
-4118,5000 |
16962042,2500 |
5627,6057 |
-4994,8943 |
24948969,1125 |
876,3943 |
768066,9768 |
14 |
4547 |
-6075,5000 |
36911700,2500 |
4288,6232 |
-6333,8768 |
40117995,0463 |
258,3768 |
66758,5597 |
15 |
3547 |
-7075,5000 |
50062700,2500 |
3498,7199 |
-7123,7801 |
50748243,0366 |
48,2801 |
2330,9689 |
16 |
232 |
-10390,5000 |
107962490,2500 |
-3578,3002 |
-14200,8002 |
201662725,9759 |
3810,3002 |
14518387,5217 |
17 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
∑ |
169960 |
- |
1236898756,0000 |
169960,0000 |
- |
792064870,0339 |
- |
444833885,9661 |
На основании выполненных расчетов имеем
1236898756,0000 = 792064870,0339+444833885,9661 , а,
следовательно, равенство (*) выполняется.
Если коэффициент b изменить в 1,1 раз, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷx = -6651,2168+ 3,5321 ·x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет (см. таблицу 2.5).
Таблица 2.5
№ |
yi |
yi - |
(yi - )2 |
ŷxi |
ŷxi - |
(ŷxi - )2 |
yi - ŷxi |
(yi - ŷxi)2 |
1 |
20653 |
10030,5000 |
100610930,2500 |
29188,8808 |
18566,3808 |
344710494,4564 |
-8535,8808 |
72861260,3173 |
2 |
39063 |
28440,5000 |
808862040,2500 |
25762,7553 |
15140,2553 |
229227331,7202 |
13300,2447 |
176896508,0512 |
3 |
14188 |
3565,5000 |
12712790,2500 |
18663,2583 |
8040,7583 |
64653794,6088 |
-4475,2583 |
20027937,1689 |
4 |
9307 |
-1315,5000 |
1730540,2500 |
16303,8235 |
5681,3235 |
32277436,8307 |
-6996,8235 |
48955539,2367 |
5 |
12544 |
1921,5000 |
3692162,2500 |
14756,7689 |
4134,2689 |
17092179,6651 |
-2212,7689 |
4896346,3801 |
6 |
4105 |
-6517,5000 |
42477806,2500 |
14650,8063 |
4028,3063 |
16227251,6287 |
-10545,8063 |
111214030,4703 |
7 |
9472 |
-1150,5000 |
1323650,2500 |
14555,4399 |
3932,9399 |
15468016,4153 |
-5083,4399 |
25841361,4215 |
8 |
13252 |
2629,5000 |
6914270,2500 |
12683,4332 |
2060,9332 |
4247445,8512 |
568,5668 |
323268,1519 |
9 |
10212 |
-410,5000 |
168510,2500 |
10465,2819 |
-157,2181 |
24717,5168 |
-253,2819 |
64151,7437 |
10 |
7149 |
-3473,5000 |
12065202,2500 |
10327,5305 |
-294,9695 |
87006,9996 |
-3178,5305 |
10103056,2077 |
11 |
10428 |
-194,5000 |
37830,2500 |
8565,0186 |
-2057,4814 |
4233229,8425 |
1862,9814 |
3470699,8155 |
12 |
4757 |
-5865,5000 |
34404090,2500 |
8194,1493 |
-2428,3507 |
5896887,0168 |
-3437,1493 |
11813995,4597 |
13 |
6504 |
-4118,5000 |
16962042,2500 |
6855,4879 |
-3767,0121 |
14190379,8115 |
-351,4879 |
123543,7765 |
14 |
4547 |
-6075,5000 |
36911700,2500 |
5382,6072 |
-5239,8928 |
27456476,2946 |
-835,6072 |
698239,4343 |
15 |
3547 |
-7075,5000 |
50062700,2500 |
4513,7136 |
-6108,7864 |
37317271,7474 |
-966,7136 |
934535,1106 |
16 |
232 |
-10390,5000 |
107962490,2500 |
-3271,0085 |
-13893,5085 |
193029579,1432 |
3503,0085 |
12271068,7285 |
17 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
∑ |
169960 |
- |
1236898756,0000 |
- |
- |
1006139499,5488 |
- |
500495541,4743 |
Из таблицы следует
1236898756,0000≠ 1006139499,5488+ 500495541,4743, т.е.
n n n
∑(yi - )2 ≠ ∑( ŷxi - )2 + ∑(yi - ŷxi )2
i=1 i=1 i=1