2. Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

ŷ_x = a · x^b

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lga + b lgx.

Обозначим через Ŷ = lg ŷ; X = lgx; C = lga . Тогда уравнение примет вид:

Ŷ = C + b · X

Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

B=( - )/S_x²= (14,3232–3,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;

C = - b · = 3,8614– 1,9214·3,6836= -3,2163.

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Ŷ = -3,2163+1,9214·X.

Выполнив его потенцирование получим:

ŷ _x = 10^-3,2163x ^1,9214 = 0,0061 x ^1,9214

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично, как и для линейной, сведен в таблицу 2.2

Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

B = ( - )/S_x² = (14,3232–3,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;

C = - b · = 3,8614– 1,9214·3,6836= -3,2163.

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Ŷ = -3,2163+1,9214·X.

Выполнив его потенцирование получим:

ŷ _x = 10^-3,2163x ^1,9214 = 0,0061 x ^1,9214

Таблица 2.2

№
1	4,0063	4,3150	17,2873	16,0507	18,6191	30307,6141	-9654,6141	93211573,1649
2	3,9627	4,5918	18,1958	15,7030	21,0843	24986,6144	14076,3856	198144632,4640
3	3,8553	4,1519	16,0071	14,8636	17,2384	15538,8431	-1350,8431	1824777,0583
4	3,8128	3,9688	15,1325	14,5378	15,7515	12875,8645	-3568,8645	12736793,8038
5	3,7825	4,0984	15,5025	14,3076	16,7972	11260,3895	1283,6105	1647655,9334
6	3,7804	3,6133	13,6597	14,2913	13,0560	11153,5435	-7048,5435	49681965,1505
7	3,7784	3,9764	15,0247	14,2766	15,8121	11057,7998	-1585,7998	2514761,0229
8	3,7383	4,1223	15,4103	13,9749	16,9932	9258,7277	3993,2723	15946223,8487
9	3,6854	4,0091	14,7751	13,5821	16,0730	7326,0141	2885,9859	8328914,3719
10	3,6819	3,8542	14,1908	13,5562	14,8552	7213,1503	-64,1503	4115,2575
11	3,6343	4,0182	14,6033	13,2080	16,1459	5843,4454	4584,5546	21018140,8309
12	3,6236	3,6773	13,3250	13,1302	13,5228	5572,8660	-815,8660	665637,3124
13	3,5825	3,8132	13,6608	12,8344	14,5403	4647,5185	1856,4815	3446523,4586
14	3,5324	3,6577	12,9204	12,4777	13,3790	3722,8085	824,1915	679291,6516
15	3,4998	3,5499	12,4239	12,2488	12,6015	3223,5426	323,4574	104624,7052
16	2,9809	2,3655	7,0513	5,9618	5,5955	324,5569	-92,5569	8566,7707
17	-	-	-	-	-	-	-	-
Сумма	58,9376	61,7831	229,1706	215,0048	242,0650	164313,2987	5646,7013	409964196,8053
Ср. знач.	3,6836	3,8614	14,3232	13,4378	15,1291	-	-	25622762,3003
Sx2 , SY2	0,0516	0,2183	-	-	-	-	-	-
Sx, SY	0,2272	0,4672	-	-	-	-	-	-

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение ŷ_x. Эти значения приведены в таблице 2.2.