1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

1. Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

ŷ_x = a + b · x,

где ŷ_x – результативный признак, характеризующий теоретический пассажирооборот железнодорожных перевозок;

x – фактор (длина железной дороги);

a, b – параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (пассажирооборот железнодорожных перевозок) y от теоретических ŷ_x будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

n·a + b(x_{1 +} x_{2 + ...... +} x₁₆) = y_{1 +} y_{2 + .... +} y₁₆

a(x_{1 +} x_{2 + ... +} x₁₆₎ + b(x₁² ₊ x₂² _{+ ... +} x₁₆²) = y₁x₁₊ y₂x_{2+ ...+} y₁₆x_16.

С учетом обозначений

= (y_{1 +} y_{2 + .... +} y₁₆)/16_; = (x_{1 +} x_{2 + ...... +} x₁₆)/16_;

= (y₁x₁₊ y₂x_{2+ .....+} y₁₆ x₁₆)/16_;

= (x₁² ₊ x₂² _{+ ...... +} x₁₆)/16; S_x² = – ²

значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ( - )/ S_x² = (72561475,7500–

10622,5000* 5379,5625)/ 4801346,9961= 3,2110

a = - b = 10622,5000- 3,2110* 5379,5625= -6651,2168

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, разности функции регрессии и опытных значений, а так же ошибки аппроксимации, которые представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1

№
1	10147	20653	209565991	102961609	426546409	25930,6901	5277,6901
2	9177	39063	358481151	84217329	1525917969	22816,0306	16246,9694
3	7167	14188	101685396	51365889	201299344	16361,9424	2173,9424
4	6499	9307	60486193	42237001	86620249	14217,0017	4910,0017
5	6061	12544	76029184	36735721	157351936	12810,5884	-266,5884
6	6031	4105	24757255	36372961	16851025	12714,2587	8609,2587
7	6004	9472	56869888	36048016	89718784	12627,5620	3155,5620
8	5747	13252	72541448	29964676	175615504	10925,7378	2326,2622
9	4846	10212	49487352	23483716	104284944	8909,2366	1302,7634
10	4807	7149	34365243	23107249	51108201	8784,0080	1635,0080
11	4308	10428	44923824	18558864	108743184	7181,7244	3246,2756
12	4203	4757	19993671	17665209	22629049	6844,5706	2087,5706
13	3824	6504	24871296	14622976	42302016	5627,6057	876,3943
14	3407	4547	15491629	11607649	20675209	4288,6232	258,3768
15	3161	3547	11212067	9991921	12581209	3498,7199	48,2801
16	957	232	222024	915849	53824	-3578,3002	3810,3002
17	662	-	-	-	-	-	-
Сумма	86073	169960	1160983612	539856635	3042298856	169960	0
Ср. знач.	5379,5625	10622,5000	72561475,7500	33741039,6875	190143678,5000	-	-
Sx2 , Sy2	4801346,9961	77306172,2500	-	-	-	-	-
Sx, Sy	2191,1976	8792,3929	-	-	-	-	-

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги примет вид:

ŷ_x = -6651,2168+ 3,2110· x