2.2 Как измерить фрактальность?
Одна из центральных характеристик, позволяющих отличать фракталы друг от друга - это их размерность, которая описывает, как объект заполняет пространство и является продуктом всех влияющих на этот процесс факторов.
Для экономики размерность определяет, например, как та или иная компания будет реагировать на микро- и макроэкономические изменения рынка. Поэтому акции двух компаний с одинаковой волатильностью (стандартное изменение стоимости ценной бумаги) могут очень по-разному реагировать на одни и те же новости и, соответственно, иметь совершенно разные модели прибыли по причине разных видов производства, состояний финансовых балансов и кадровых перспектив.
В результате "нелинейных" законов, по которым принимаются решения на экономических рынках, график динамики рыночных цен и других показателей имеет вид с романтическим названием "смещенные случайные блуждания".
Впервые эти процессы обнаружил египетский гидролог Херст, разрабатывавший в первой половине ХХ века стратегию резервуарного контроля для Нильских резервуаров: его задача состояла в том, чтобы придумать алгоритм спуска воды из резервуаров так, чтобы они никогда не переполнялись и никогда не становились пустыми. Строя этот алгоритм, Херст выявил закономерность, по которой поднимался и опускался уровень воды в Ниле. Расширив это исследование, Херст показал, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, температуру, осадки, солнечные пятна, следуют "смещенному случайному блужданию", то есть тренду с шумом. В дальнейшем выяснилось, что динамика показателей на рынках капитала столь же "естественное" явление, что и вода в Ниле, и также подчиняется этому закону.
Херст вывел уравнение для этих нелинейных процессов. Оно выглядит так:
С=2 (в степени 2H-1) - 1, где C - мера корреляции, а H - так называемый показатель Херста.
Имеются три различных динамики при различных показателях Херста:
при H=0,5 получается истинно случайный ряд чисел, то есть события случайны и не коррелированны. Правая часть уравнения обращается в нуль и настоящее не влияет на будущее.
при 0<H<0,5 происходит так называемый "возврат к среднему": если система растет в какой-то период, то в следующий период надо ожидать спада. Если вчера шло снижение цен, то завтра ждите их повышения. Чем ближе Н к нулю, тем устойчиве эти колебания. Но таких процессов в реальности очень мало.
в реальности обычно 0,5<H<1 - и это трендоустойчивые ряды. То есть если ряд начал возрастать, ждите, что он будет возрастать и дальше, если он убывает сегодня, завтра тоже будет убывать. Трендоусточивость тем больше, чем ближе Н к 1, потому что чем больше корреляция между процессами, тем более одинаково они себя ведут. Чем ближе Н к 0,5, тем более зашумленный и менее выраженный тренд получается на выходе.
Интересно, что для имитации смещенного случайного блуждания Херст использовал колоду из 52 карт, пронумерованную числами +1,-1, +2, -2, +3, -3, +5, -5, +7, -7, поделенных по картам так, чтобы комплект давал нормальное распределение. .Херст провел на этой колоде шесть тысяч экспериментов, имитировавших случайные блуждания и получил свой коэффициент Херста Н=0,714+/-0,091. Приблизительно такую же величину он получал в итоге природных наблюдений за естественными нелинейными процессами вроде воды в Ниле.
В имитаторе Херста случайное событие (он перемешивал колоду и после этого делил ее пополам) определяет степень смещения. Другое случайное событие (он добавлял джокер в одну из половинок колоды) обусловливает длину смещенного пробега. Однако эти два случайных события имеют пределы. Степень смещения находится в границах +/-7, в результате комбинация случайных событий создает упорядоченную структуру.
Исследования показали, что рынки капитала также образуют статистики Херста. Смещения генерируются инвесторами, которые реагируют на текущую экономическую обстановку. Это смещение продолжается до тех пор, пока не появится случайная информация (экономический эквивалент джокера) и не изменит смещения по величине, направлению или в том и другом плане. То же самое происходит в популяциях при появлении полезной мутации генов, в семейной традиции при очень удачном браке - и в бизнесе компании при возникновении эффективной творческой идеи.
Слайд 2.Расчет коэффициента Херста.