Перевод из одной системы счисления в другую

Пусть известна запись числа А в системе счисления p.

(переписать понятие Аp формулой в тетради)

A_p=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₀+a_-1p^-1+…+a_-mp^-m

Требуется найти запись этого же числа в системе счисления с основанием t.

Ограничимся случаем положительных чисел, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нового знака. При переводе из p-чной в d-чную нужно учитывать, средствами какой арифметики будет осуществлен перевод, то есть в какой системе счисления (p или d –чной) должны быть выполнены все необходимые для перевода операции.

Пусть этот перевод осуществляется средствами d-чной арифметики. Тогда перевод А_p в А_d выполняется по правилу замещения, которое предусматривает вычисление полинома для p-ичной системы в d-ичной системе счисления. То есть, для получения d-ичного изображения п-ичного полинома необходимо все цифры a_i и число p заменить d-ичными изображениями и выполнить арифметические операции в d-ичной системе счисления. Чаще всего правило замещения используют для преобразования чисел из любой системы счисления в десятичную.

Конкретизируем это правило. Перевод в десятичную систему числа А, записанного в p-ичной системе счисления сводится к вычислению многочлена средствами десятичной арифметики. При переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах счисления. Здесь под точностью понимается значение единицы самого младшего разряда, который используется в записи числа. Для перевода А_p в А_d средствами p-чной арифметики используется правило деления для целой части и умножения для дробной.

Перевод целых чисел

A_р=a_npⁿ+…+a₀

А_d=b_ndⁿ+…+b₀

Так как А_p = А_d, то можно записать:

A_р =b_ndⁿ+…+b₀

Нам необходимо найти цифры b_i в d –чной системе счисления. Для определения b₀ разделим равенство на b, причем в левой части выражения пользуемся правилами p-чной арифметики, так как запись числа Аp в p-чной системе известно. Выделим целую и дробную часть от деления

A_p / d = {A_p / d}_цел + {A_p / d}_дроб

Дробная часть равна

{A_p / d}_дроб = остаток / d

Перепишем правую часть выражения следующим образом

A_p = b_nd^n-1 + b_n-1d^n-2 + … + b₀ / d

Отсюда видно, что остаток от деления будет равен

остаток / d = b₀ / d b₀ является остатком от деления.

Обозначим {А_p/d}_цел = А_р^*, которое будет равно A_p^* = b_nd^n-2 + b_n-1d^n-3 + … + b₁ / d

и применим к этому выражению ту же самую процедуру, в результате чего найдем b₁, и так далее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока целая часть от деления не станет равной нулю.

{A_pⁱ}_цел = 0

Так как все операции осуществляются в системе счисления с основанием p, то в этой же системе будут получены искомые коэффициенты b_i, поэтому и необходимо записать в d-чной системе счисления.

Правило деления чаще всего используется для перевода целых чисел из десятичной в любую другую систему счисления.

Еще раз сформулируем это правило: Для перевода целого числа А_p из p-чной в d-чную систему необходимо разделить А_p нацело или с остатком на число d, записанное в той же системе счисления. Затем с неполным частным выполняется та же операция и так далее, пока последнее неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа А_p в d-чной системе будет последовательность остатков от деления, изображенных d-чной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Пример:

75₁₀ {?}₁₆

75/16=4(11) 4/16=0(4) 75₁₀=4B₁₆