3. Передаточная функция разомкнутой системы

Избавимся от всех перекрестных параллельных и обратных связей, приведем структурную схему к стандартному виду. Определим передаточную функцию разомкнутой системы, запишем ее в стандартной форме. Определим степень астетизма системы.

Найдем эквивалентные передаточные функции:

П олучили одноконтурную САУ

Разомкнутой называется система при отсутствии главной обратной связи.

Передаточная функция разомкнутой системы:

>> w=tf([0.56,7.475,20.25,15],[0.15,1.3,6.9,25,30])

Transfer function:

0.5625 s^3 + 7.5 s^2 + 20.25 s + 15

---------------------------------------------------

0.15 s^4 + 1.288 s^3 + 6.9 s^2 + 25 s + 30

>> w=zpk(w)

Zero/pole/gain:

3.75 (s+10) (s+2) (s+1.333)

-----------------------------------------------------

(s+4.389) (s+1.963) (s^2 + 2.231s + 23.21)

Так как в передаточной функции нет не одного интегрирующего звена, то степень астатизма 0ν=0. Коэффициент передачи К=3.75.

4 Амплитудно-фазовая, вещественная и мнимая частотные характеристики разомкнутой системы

5. Годограф афчх разомкнутой системы

>> nyquist(w)

6. Выражения для асимптотической лачх и лфчх разомкнутой системы

Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе:

L(w) =20 lg A(w), называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Построение ЛАЧХ.

а) Координата точки, через которую пройдет первоначальный участок ЛАЧХ

L = 20 lg k, k = 3,75;

L = 20 lg 3,75 = 20 0,574=11.48 и w=1;

В программе Matlab строим графики ЛАЧХ и ЛФЧХ.

>> bode(W)

7. Определим устойчивость замкнутой сау с помощью критерия Найквиста и логарифмических частотных характеристик.

Под устойчивостью системы понимают ее способность возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушевшего это равновесие.

Поведение системы в любой момент времени может быть описан с помощью дифференциального уравнения:

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+…+a₁y^’(t)+a₀y(t)=b_mu^m(t)+…+b₀u(t)

Чтобы определить как поведет себя система после снятия внешнего воздействия, мы приравняем к 0 правую часть:

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+…+a₁y^’(t)+a₀y(t)=0;

a_npⁿy(p)+…+a₁ py(p)+a₀y(p)=0;

y(p)(a_npⁿ+…+a₁ p+a₀)=0;

D(p)= a_npⁿ+…+a₁ p+a₀=0 – характерестическое уравнение.

Решением данного уравнения будут корни. Корней n-штук (p₁, p₂, …,p_n).

Wраз(p)= ;

Для того чтобы найти корни, приравняем знаменатель к 0:

>> zero(w)

ans =

-10.0000

-2.0000

-1.3333

>> pole(w)

ans =

-1.1155 + 4.6869i

-1.1155 - 4.6869i

-4.3891

-1.9632

Разомкнутая система устойчивая, т.к. корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости.

Чтобы определить устойчивость замкнутой системы, также используют критерий Найквиста.

Если АФХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку с координатами -1; i0, то замкнутая система, полученная из разомкнутой путем охвата ее отрицательной обратной связью, будет устойчива. Если АФХ устойчивой разомкнутой системы охватывает точку с координатами -1; i0, то замкнутая система будет неустойчива. Если АФХ устойчивой разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1; i0, то замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.

В данном случае годограф не охватывает точку [-1i,0], значит система устойчива.

Если ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ раньше, чем ЛФЧХ пересечет линию -180⁰, то замкнутая система будет устойчивой. Если ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ позже, чем ЛФЧХ пересечет линию -180⁰, то замкнутая система будет неустойчивой. Если ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ на частоте, при которой ЛФЧХ пересечет линию -180⁰, то замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.

Определение устойчивости замкнутой САУ с помощью логарифмических частотных характеристик:

>> margin(w)

В данном случае ЛАЧХ не устойчивой разомкнутой системы пересекает линию 0дБ позже, чем ЛФЧХ пересекает линию -180^о, следовательно, замкнутая САУ будет устойчивой.