10.1 Принцип симметрии. Понятие симметрии в современной науке

В той или иной степени представление о симметрии есть у всех людей, так как этим свойством обладают самые разные предметы, играющие важную роль в повседневной жизни.

Обычно под симметрией (от греч. symmetria – соразмерность) понимают однородность, пропорциональность, гармонию каких-либо материальных объектов.

Предметы, обладающие вышеперечисленными признаками, обычно считаются красивыми. Поэтому понятие красоты тесно связано с понятием симметрии. Многим творениям человеческих рук в силу самых разных причин придается симметричная форма. Симметричны мячи, многие здания и сооружения, произведения искусства. Симметрию можно обнаружить в живописи, музыке, поэзии, танце. В изобилии симметрии встречаются в природе – снежинка, дождевая капля, различные кристаллы и т.д.

Долгое время изучением симметрии занимались лишь художники, для которых были важны законы перспективы и пропорций. Ученые начали серьезно изучать вопросы симметрии лишь с XIX века, когда появилась новая наука – кристаллография, изучающая, пожалуй, самые симметричные объекты в мире – кристаллы.

Часто в науке используется понятие асимметрии – состояние отсутствия симметрии. Как симметрия связана с гармонией и равновесием, так асимметрия связана с нарушением равновесия, с движением и развитием. Поэтому симметрия и асимметрия являются двумя противоположными тенденциями, постоянно борющимися между собой. Любой объект окружающего нас мира содержит элементы симметрии и асимметрии. В чистом виде они не существуют. Так, даже в самых совершенных кристаллах есть отступления от идеальной симметрии. С другой стороны, любые асимметричные объекты все же можно разделить на части, а значит, в них есть элементы симметрии. Полная асимметрия была бы связана с невозможностью разделения предмета, он был бы неделимым, что нереально.

Довольно часто человек сталкивается не с полным, а с частичным отсутствием симметрии. Так, довольно часто у объектов может не быть зеркальной симметрии, т.е. они не совмещаются со своим зеркальным отражением простым наложением.

Отсутствие некоторых элементов симметрии у тех или иных объектов называется дисимметрией. Например, обычно реки имеют разную высоту левого и правого берегов.

Симметрия противоположностей, связанная с изменением знака, называется антисиммет-рией. Это переходы: черное – белое, частица – античастица и т.д.

Типы симметрии

Наглядных, классических симметрий известно довольно много. Очень часто в природе наблюдается зеркальная симметрия. Ей обладает любое тело, которое можно разделить на две зеркально равные половинки – отражение в зеркале воспроизводит тот же объект, но порядок расположения его частей является обращенным – правое становится левым и т.д. Так, человеческое тело приближенно обладает зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. То же относится ко многим архитектурным сооружениям.

Существует поворотная симметрия, связанная с поворотом тела на некоторый угол вокруг оси. Так, многие танцы основаны на вращательных движениях. Разновидностью поворотной симметрии является радиальная симметрия. При этой симметрии объект, поворачиваясь вокруг оси, переходит в себя. Такой симметрией обладают многие цветы.

Симметричен параллельный перенос фигуры на какое-либо расстояние. Такой вид симметрии называется трансляцией. Примерами трансляции являются узоры на обоях, паркетные полы. В музыке часто используется повторение одной и той же мелодии с некоторыми вариациями – канон. Трансляция в сочетании с поворотом порождает винтовую симметрию, связанную с движением по спирали. Листья на стеблях растений часто расположены именно так. Среди созданных человеком вещей примером такой симметрии является винтовая лестница.

Еще один тип симметрии – симметрия подобия, связанная с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Примером такого рода симметрии служит матрешка. Очень широко распространена такая симметрия в живой природе. Ее демонстрируют все растущие организмы.

Все названные типы симметрии связаны с представлениями о структуре предметов, которая не меняется при совершении некоторых преобразований. Долгое время это были единственные симметрии, известные в науке. Но постепенно было осознано, что симметрии могут быть не только наглядными, связанными с геометрическими операциями. Есть целый ряд симметрий, связанных с описанием каких-либо изменений сложных естественных процессов.

Например, одна из симметрий связана с работой, совершаемой при подъеме тела. Затрачиваемая при этом энергия зависит от разности высот, которую требуется преодолеть при подъеме, но не зависит от абсолютной высоты. Не важно, измеряется ли высота от уровня моря или от уровня суши, важна лишь разность высот. Следовательно, существует симметрия относительно выбора начала отсчета высот. Этот пример – иллюстрация того, что физики называют калибровочными симметриями, связанными с изменениями масштаба: все симметрии, которые связаны с законами микромира, являются калибровочными.

Калибровочные симметрии не фиксируются в наблюдениях, они становятся заметны лишь в уравнениях, описывающих природные процессы. Поэтому физики, исследуя математическое описание той или иной физической системы, время от времени открывают новые, часто неожиданные симметрии. Эти симметрии достаточно тонко «запрятаны» в математическом аппарате и совсем не видны тому, кто наблюдает саму физическую систему.

Классическим примером такого рода симметрией является открытие законов электро-магнитного поля. В 50-х гг. XIX в. Максвелл разработал теорию, связывающую электрическое и магнитное поля единой системой уравнений. Но сначала он обнаружил, что эти уравнения не сбалансированы, так как члены уравнений, относящиеся как к электрическому, так и к магнитному полям, входят в них не вполне симметрично.

Чтобы пояснить этот момент, необходимо сделать небольшое отступление и поговорить о роли красоты в физике и математике.

Что такое красота уравнений физики? Сегодня считается, что в науке красота тесно связана с симметрией. Симметрия физических законов, точнее их математических описаний, проявляется, если при каких-то операциях вид уравнений остается неизменным. В таком случае говорят, что уравнения симметричны по отношению к данным операциям.

Часто физики вначале создают красивую теорию, которая лишь спустя некоторое время полу-чает экспериментальное подтверждение. Поэтому умение находить с помощью математического анализа скрытые соотношения и симметрии характеризует профессиональное мастерство физиков.

Именно с целью гармонизации уравнений, придания им более красивого и симметричного вида Максвелл ввел в них дополнительный член, на тот момент, не вытекавший из экспериментов. Его можно было интерпретировать как не замеченный ранее эффект – порождение магнетизма переменным электрическим полем. И оказалось, что такой эффект действительно существует! Природа подтвердила эстетический вкус Максвелла. Благодаря стремлению ученого к красоте электричество и магнетизм были осознаны как проявление единой силы природы – электромагнетизма. Также была создана классическая электродинамика, одна из фундаменталь-ных физических теорий.

Сегодня математическое исследование, основанное на анализе симметрии, также может стать источником выдающихся открытий в физике. Даже если заложенные в математическом описании симметрии трудно или невозможно представить себе наглядно, они могут указать путь к выявле-нию новых фундаментальных принципов природы. Поиск новых симметрий стал главным сред-ством, помогающим физику в наши дни продвигаться к более глубокому пониманию мира. Так, создание современных теорий физического взаимодействия, таких как слабое и сильное взаимо-действие, а также теорий Великого объединения, связано с открытием новых видов симметрии.

Симметрии в физике и законы сохранения

С точки зрения физики, симметричным является объект, который в результате определенных преобразований остается неизменным, инвариантным.

Инвариантность – это неизменность какой-либо величины при изменении физических условий, способность не изменяться при определенных преобразованиях.

Симметрия в физике – это свойство физических величин, детально описывающих поведение системы, оставаться неизменными (инвариантными) при их определенных преобразованиях.

Симметрии в физике тесно связаны с законами сохранения физических величин – утверждениями, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем в любых процессах или в определенных классах процессов.

В классической физике Ньютона и Максвелла эта связь носила второстепенный характер и использовалась для проверки правильности полученных решений уравнений движения. Более общий характер принципов симметрии и законов сохранения по сравнению с законами движения был осознан при формулировании законов термодинамики и особенно квантовой механики. Но лишь после появления теории относительности Эйнштейна и осознания того, что она представляет один из аспектов теории симметрии, ученые обратили внимание на эту связь. Фактически законы сохранения просто вытекают из принципов симметрии. Это было обнаружено в 1918 г. немецким математиком Э. Нётер и доказано в теореме, названной ее именем.

Теорема Нётер утверждает, что каждой симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса – однородности пространства, закон сохранения момента импульса – изотропии пространства, закон сохранения электрического заряда – калибровочной симметрии и т.д.

Симметрии и связанные с ними законы сохранения делятся на пространственно-временные, или внешние геометрические, симметрии и внутренние симметрии, описывающие свойства элементарных частиц.

Пространственно-временные симметрии и законы сохранения

1. Сдвиг времени, т.е. изменение начала отсчета времени, не меняет физических законов. Это означает, что все моменты времени объективно равноправны и можно взять любой за начало отсчета времени. Время однородно.

Из этой симметрии вытекает закон сохранения энергии. Так, если бы сила притяжения тел к Земле изменялась со временем, т.е. не все моменты времени были бы равноценны, то энергия не сохранялась бы. Мы могли бы поднимать тела вверх в моменты времени, когда сила притяжения минимальна, и опускать их вниз в моменты увеличения этой силы. Выигрыш в работе был бы налицо, и можно было бы создать вечный двигатель.

2. Сдвиг системы отсчета пространственных координат не меняет физических законов. Это означает, что все точки пространства равноправны и пространство однородно. Перенос или сдвиг в пространстве какой-либо физической системы никак не влияет на процессы внутри нее. Из этой симметрии вытекает закон сохранения импульса.

3. Поворот системы отсчета пространственных координат оставляет физические законы неизменными. Это говорит об изотропности пространства – одинаковости его свойств по всем направлениям. Из этой симметрии вытекает закон сохранения момента импульса.

4. Законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В этом состоит классический принцип относительности Галилея. В соответствии с данным принципом нет разницы между покоем и равномерным прямолинейным движением. Эта симметрия говорит о том, что можно перейти из одной инерциальной системы в другую, если уравнять их скорости движения (например, уравняв скорости, можно спокойно шагнуть из машины в вагон поезда). Из принципа относительности вытекает закон сохранения скорости движения центра масс изолированной системы.

5. Фундаментальные физические законы не изменяются при обращении знака времени, т.е. при замене в уравнениях теории t на –t. Это означает, что все соответствующие процессы в природе обратимы во времени. Эта симметрия действует только в макромире. На уровне микромира наблюдается необратимость процессов, имеющая статистическое происхождение и связанная с неравновесным состоянием Вселенной.

6. Существует зеркальная симметрия природы. Отражение пространства в зеркале не меняет физических законов. В квантовой механике этой симметрии соответствует закон сохранения четности – особого квантового числа, присущего каждой частице.

7. Замена всех частиц на античастицы (операция зарядового сопряжения) не изменяет характера процессов природы.

Если с симметриями 1–4 дело обстоит достаточно очевидно, то зеркальная симметрия и зарядовое сопряжение сохраняются только при сильных и электромагнитных взаимодействиях. При слабых взаимодействиях указанные симметрии нарушаются. То же относится и к симметрии относительно знака времени, которая действует лишь в макромире.

Таким образом, в современной физике обнаруживается определенная иерархия симметрии. Одни из них выполняются при любых взаимодействиях и в любых условиях, другие же – только при определенных условиях. Эта иерархия еще отчетливее проявляется во внутренних симметриях.

Внутренние симметрии и законы сохранения

Внутренние симметрии действуют в микромире и описывают разные аспекты взаимо-превращений элементарных частиц друг в друга.

1. При всех превращениях элементарных частиц сумма электрических зарядов частиц остается неизменной. В этом состоит закон сохранения электрического заряда. Он органически входит в структуру современных физических теорий, но глубинные причины выполнения закона сохранения электрического заряда остаются неизвестными.

2. На основе экспериментальных наблюдений выведен закон сохранения барионного заряда. В соответствии с ним разность между числом барионов и антибарионов, участвующих в сильном взаимодействии, не изменяется при любых процессах. Следствием этого закона является требова-ние стабильности протона (самая легкая частица-барион), который не распадается на другие эле-ментарные частицы. Тем не менее, современные теории слабого и сильного взаимодействий тре-буют признания возможности распада протона, так как без этого невозможно объяснить, почему во Вселенной вещества больше, чем антивещества. Правда, пока распад протона не обнаружен.

3. Аналогично обстоит дело и с легкими элементарными частицами – лептонами. Разность числа лептонов и антилептонов не изменяется при превращениях элементарных частиц. В этом состоит закон сохранения лептонного заряда.

Подобно закону сохранения барионного заряда, закон сохранения лептонного заряда выведен экспериментально и носит описательный характер. Глубинные причины проявления законо-мерностей такого рода науке пока неизвестны. И хотя случаев нарушения этих двух законов пока не зафиксировано, некоторые современные теории физического взаимодействия говорят о такой возможности.

4. Уже давно известна внутренняя симметрия, названная изотопической инвариантностью. Хорошо известны такие элементарные частицы, как протоны и нейтроны, составляющие атомные ядра. Они очень похожи друг на друга. Их массы отличаются всего лишь на 0,1 %, у них одинаковые значения спина (1/2) и на них одинаково действуют ядерные силы. Единственное, чем они отличаются, это наличием у протона электрического заряда и отсутствием такового у нейтрона. Но этот заряд имеет значение лишь в случае электромагнитного взаимодействия. Если же мы рассматриваем сильное ядерное взаимодействие, связывающее протоны и нейтроны в атомном ядре, электрический заряд не играет никакой роли. Поэтому в сильном взаимодействии протон и нейтрон ведут себя одинаково, как если бы это была одна и та же частица. В сильном взаимодействии протон вполне может заменить нейтрон, и наоборот. Поэтому Гейзенберг предложил рассматривать протоны и нейтроны как два различных состояния одной частицы – нуклона. В этом и заключается проявление симметрии.

Для описания данной ситуации была введена особая величина – изотопический спин. Слово «изотопический» здесь связано с тем, что ядра, отличающиеся только числом нейтронов, называются изотопами, а свойства симметрии, о которой идет речь, аналогичны свойствам собственного спина.

Таким образом, был сформулирован закон сохранения изотопического спина, который выпол-няется только при сильных взаимодействиях, но нарушается при слабых и электромагнитных взаимодействиях.

5. Последняя известная сегодня внутренняя симметрия позволила сформулировать закон сохранения странности. Странность – это квантовое число, характеристика адронов, частиц, участвующих в сильных взаимодействиях. В сильных взаимодействиях сумма странностей частиц, участвующих в них, остается неизменной. При слабых взаимодействиях значение странности меняется.