Для того, щоб знайти точки екстремуму функції, треба:

1. Знайти область визначення ;

2. Обчислити ;

3. Для визначити значення , в яких похідна не існує або дорівнює нулю. Зі знайдених значень вибрати лише ті, які належать області визначення функції — це точки, підозрілі на екстремум (для наочності має сенс зобразити область визначення функції й точки, підозрілі на екстремум, на числовій осі ОХ). Ці точки розіб’ють область визначення на частки;

4. На кожній з часток області визначення функції, отриманих на кроці 3, визначити знак похідної;

5. Для кожної точки, підозрілої на екстремум, проаналізувати знак похідної ліворуч і праворуч від неї: якщо похідна змінює знак з «+» на «-», то точка — точка локального максимуму, якщо знак похідної змінюється з «-» на «+» — локального мінімуму, інакше екстремуму в точці немає.

В изначення. Нехай функція визначена на . Кажуть, що є опуклою униз (опуклою вверх) функцією на , якщо для будь-яких двох точок і , які належать графіку , дуга, яка з’єднує ці точки, лежить під (над) хордою (рис.3(а) — функція, опукла униз; рис.3(б) — функція, опукла уверх).

Твердження. Нехай функція визначена і двічі диференційована на . Для того, щоб була опуклою вниз (уверх) на необхідно і достатньо, щоб

на .

Визначення. Нехай функція визначена на , . Точка називається точкою перегину для функції , якщо в ній змінюється напрямок опуклості функції (рис.4).

Необхідна умова точки перегину. Нехай функція визначена на , — точка перегину функції. Тоді обов’язково виконується одна з наступних умов:

1. в точці не існує похідна другого порядку функції ;

2. .

Таким чином, точки, які є підозрілими на перегин, — це точки, де похідна другого порядку не існує чи дорівнює 0. В таких точках перегин може бути чи може і не бути. Потрібно перевірити достатні умови для перегину.

Перша достатня умова точки перегину. Нехай функція визначена на і двічі диференційована на цьому інтервалі скрізь, за винятком, можливо, точки . Якщо існують такі лівий і правий напівоколи точки , в кожному з яких зберігає знак, то

1. функція має в точці перегин, якщо має значення різних знаків в відповідних напівоколах;

2. функція не має в точці перегину, якщо праворуч і ліворуч від має значення однакових знаків.

Друга достатня умова точки перегину. Нехай функція визначена і двічі диференційована на і виконуються умови:

1. ;

2. в точці існує похідна третього порядку ,

тоді має перегин в точці .

Для того, щоб знайти точки перегину, треба:

1. Знайти область визначення ;

2. Обчислити , ;

3. Для визначити значення , в яких похідна другого порядку не існує або дорівнює нулю. Зі знайдених значень вибрати лише ті, які належать області визначення функції, — це точки, підозрілі на перегин (для наочності має сенс зобразити область визначення функції й точки, підозрілі на перегин, на числовій осі). Ці точки розіб'ють область визначення на частки;

4. На кожній з часток області визначення функції, отриманих на кроці 3, визначити знак ;

5. Для кожної точки, підозрілої на перегин, проаналізувати знак похідної другого порядку ліворуч і праворуч від неї: якщо змінює знак, то точка — точка перегину, інакше перегину немає.

Визначення. Якщо точка безупинно переміщується по кривій так, що хоча б одна з координат точки прямує до нескінченності, і при цьому відстань точки від деякої прямої наближається до 0, то ця пряма називається асимптотою кривої .

Визначення. Якщо існує число таке, що

,

то пряма є вертикальною асимптотою графіка .

З визначення вертикальної асимптоти витікає, що відповідне число може бути

1. розривом другого роду для поданої функції,

2. точкою, яка знаходиться на межі області визначення функції.

Саме такі значення потрібно перевіряти на вертикальні асимптоти.

Визначення. Якщо існують обидві границі

,

то пряма буде правої похилою асимптотою (у випадку — правою горизонтальною асимптотою) графіка .

Якщо існують обидві границі

,

то пряма буде лівої похилою асимптотою (у випадку — лівою горизонтальною асимптотою) графіка .

Зауваження. Якщо область визначення функції є множиною, обмеженою зверху, її графік не може мати правої похилої (горизонтальної) асимптоти, бо така функція просто не визначена для . Аналогічно, якщо область визначення — це множина, обмежена знизу, то графік функції не може мати лівої похилої (горизонтальної) асимптоти.

Зауваження. Якщо функція є періодичною, її графік не має похилих (горизонтальних) асимптот.

Для знаходження асимптот графіка функції треба:

1. Знайти — область визначення ;

2. Якщо множина обмежена (знизу, чи зверху), тобто існує і (чи) , обчислити

.

Якщо перша (друга) границя дорівнює , то пряма ( ) є вертикальною асимптотою графіка.

3. Знайти точки розриву функції другого роду, тобто такі точки , для яких хоча б одна з однобічних границь

дорівнює нескінченності. Якщо такі точки є, то — вертикальні асимптоти графіка.

4. Права (ліва) похила асимптота може існувати у графіка функції лише тоді, коли область визначення функції є необмеженою зверху (знизу), і функція є неперіодичною. У такому випадку перевіряємо одночасне існування границь

для правої асимптоти (якщо вони обидві існують, то — асимптота),

і (чи) одночасне існування границь

для лівої (при існуванні — ліва асимптота)

Для виконання другого завдання першої частини курсової роботи необхідно пам’ятати наступний теоретичний матеріал.

Визначення. Таблицю

що складається з mxn чисел a_ij (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m), називають матрицею, а числа a_ij – елементами цієї матриці, де i вказує номер рядка, а j – номер стовпця. Добуток кількості рядків на кількість стовпчиків mxn називають розміром матриці.

Визначення. Матрицю, у якої число рядків дорівнює числу стовпців, називають квадратною. В іншому випадку матрицю називають прямокутною.

Визначення. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то матрицю називають нульовою.

Елементи a₁₁, a₁₂, …, a_nm утворюють головну діагональ квадратної матриці, а елементи a_1n, a_1n-1, …, a_n1 – побічну діагональ.

Визначення. Квадратну матрицю називають трикутною, якщо всі елементи, що розташовані під (над) головною діагоналлю, дорівнюють нулю, а серед тих, що залишилися, є ненульові.

Визначення. Квадратну матрицю, всі елементи якої, крім діагональних, дорівнюють нулю, називають діагональною.

Визначення. Квадратну матрицю, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці, а всі інші – нулю, називають одиничною і позначають

Визначення. Матрицю A^T називають транспонованою до матриці A, якщо рядки матриці A^T є стовпцями матриці A, а стовпці – рядками матриці A.

Визначення. Матрицю, яка містить один стовпець, чи один рядок, називають вектор-стовпцем чи вектор-рядком відповідно.

Визначення. Квадратну матрицю A, визначник якої не дорівнює нулю, називають невиродженою.

Якщо det(A)=0, то матрицю A називають відродженою.

Зауваження. Прямокутна матриця, яка не є квадратною, визначника не має.

Для кожної невиродженої матриці A (det(A)0) існує обернена матриця A^-1.

Визначення. Матрицю A^-1 називають оберненою до матриці A, якщо виконуються рівності A^-1 A= A A^-1=E, де E - одинична матриця, того ж розміру, що й А.

Задамо матрицю A розміру mxn. Виділимо в матриці A будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де число k не більше чисел  m та n.

Визначення. Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором k -го рядку матриці A.

Визначення. Рангом матриці називають найбільший порядок відмінного від нуля мінору цієї матриці і позначають r(A).

Ранг матриці міститься у межах 0 r(A) min(m,n).

Зауваження. Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Визначення. Якщо А - квадратна матриця п-го порядку і Ax=λx при x0, то число λ називається власним значенням матриці, а ненульовий вектор х - відповідним йому власним вектором.

Визначення. Матриця A називається ідемпотентною якщо A²= A.

Визначення. Матриця A називається інволютивною якщо A²= Е.

Рішення завдань в Mathcad

Завдання 15

1)Записуємо область визначення і межі області визначення

2) Парність і непарність функції

Функція парна так як f (x) = f (-x)

3) Періодичність функції

Функція неперіодична так як Т = 0

4) Точки перетину

Або

Точки перетину з віссю х

5)Точки розриву

Точки розриву другого роду

6) Асимптоти

правая похила асимптота

ліва похила асимптота

Вертикальної асімптоми не існує

Горизонтальної асимптоти не існує

7) Обчислення f '(x). Визначити проміжки монотонності і точки екстремумів

• 

-Критичні точки

Функція зростає на проміжках (-∞ ; ) и (0; )

Функція спадає на проміжках ( ; ) и ( ; )

и - точки локального максимуму

0 - точка локального мінімуму

точка максимуму

точка мінімуму

8) Обчислення f'' (x). Визначити точки вигнутості і опуклості і точки перегину

Знаходимо критичні точки

На проміжках (-∞ ; ) и ( ;∞ ) y''>0 Значить це проміжки вигнутості функції

На проміжку ( ; ) y''<0 Значить це проміжок опуклості функції

точки перегину и