6. Вектор. Действия над векторами.

7. Понятие векторов

Зададим на плоскости хОу две произвольные точки А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂) (рис.1). Длина отрезка АВ легко определяется из прямоугольного треугольника АВВ` и составит:

, где (АВ)_х и (АВ)_у – проекции отрезка АВ на соответствующие оси. Эта величина определена своим численным

значением и называется скалярной.

1. Линейные операции над векторами

Операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на скаляр (число) называют линейными.

Суммой векторов а иb называют вектор с =а +b, определяемый по правилу треугольника: начало b совмещают с концом а , с соединяет начало а с концомb.

Для нахождения суммы трех и более векторов применяется правило многоугольника: суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению равный направленному отрезку, замыкающему пространственную линию, построенную на данных векторах, т.е. начало вектор-суммы совпадает с началом первого вектора а его конец- с концом последнего вектора.

Разностью векторов а иb называют вектор с =а + (-b), обозначается с =а - b.

Чтобы вычесть из вектора а вектор b, нужно к вектору а прибавить - b , , противоположный вектору b.

Произведением вектора а на скаляр  (R) называют вектор  а, длина которого равна |a| = |a| ||, а направление совпадает с направлением вектора а, если , и противоположно направлению вектора а, если .

Если положить  = 1/а получим a / a =a₀ – вектор единичной длины, имеющий тоже направление, что и a (называется единичным вектором).

При  = 0 получим a  0 =0 (нулевой вектор).

8. Уравнения прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.

. Уравнение линии на плоскости

Всякая линия на плоскости представляет собой совокупность точек. Если известно аналитическое соотношение (формула), связывающее координаты любой (текущей) точки М(х,у), лежащей на этой линии, говорят – линия задана своим уравнением у = f (x) (в общем случае F(x,y) = 0).

Если в уравнение линии подставить координаты любой ее точки, то уравнение обратится в тождество.

2. Различные способы задания уравнения прямой

2.1 Пусть в прямоугольной системе координат заданы точка (х₀, у₀) и ненулевой вектор а (а₁, а₂). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀ и параллельно вектору а. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М (х,у). Тогда векторы М₀М=

(х-х₀, у-у₀) и а=(а₁,а₂) коллиниарны и следовательно (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору.

Обозначим каждое из равных отношений уравнения (1): , . Уравнение называется параметрическими уравнениями прямой.

2.2 Пусть в прямоугольной системе координат заданы точка (х₀, у₀) и ненулевой вектор п (А, В). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀ и перпендикулярной вектору п. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М (х,у). Тогда векторы М₀М=

(х-х₀, у-у₀) и п=(А,В) перпендикулярны, следовательно , их скадярное произведение равно нулю: п* М₀М=0. Уравнение

называется уравнением прямой, проходящей точку с заданным нормальным вектором.

2.3 Всякое уравнение первой степени (линейное) относительно х и у вида:

Ах + Ву + С = 0

(А, В, С – постоянные величины, причем А²+ В²  0) определяет на плоскости некоторую прямую и называется общим уравнением прямой.

Рассмотрим частные случаи:

1. А  0, В  0, С = 0. Очевидно, что Ах + Ву = 0 – уравнение прямой проходящей через начало координат.

2. А = 0, В  0, С  0. Уравнение преобразуется к виду у = – С / В = b и определяет прямую параллельную оси Ох. (При С = 0 => b = 0 и прямая совпадает с осью Ох).

3. А  0, В = 0, С  0. Уравнение (2.3) принимает вид х = – С /А = а и определяет прямую параллельную оси Оу. (При С = 0 => a = 0 и прямая совпадает с осью Оу).

4. Если В  0, то, разрешив (2.3) относительно у, получим уравнение вида

у = кх + b

(к = – А / В, b = – С / В), называемое уравнением с угловым коэффициентом, (к = tg, где  – угол между прямой и положительным направлением оси Oх. b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу).

5. Если в (3) С  0, то разделив обе части равенства на -С, получим уравнение вида: (х / а) – (у / b) = 1

( а = – С/А; b = – С/В, называемое уравнением прямой в отрезках (|a| и |b| – длины отрезков, отсекаемых на осях Ох и Оу от начала координат).

Используя предложенные формы уравнений прямой можно получить следующие соотношения:

Острый угол между прямыми у = к₁х + b₁, у = к₂х + b₂, определится по формуле:

Из нее легко получить условие параллельности к₁ = к₂ и перпендикулярности к₂ = – 1 / к₁ прямых.

Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) под заданным углом  к оси Ох (с заданным угловым коэффициентом к = tg) примет вид

у – у₀ = к (х – х₀)

а уравнение прямой, проходящей через заданные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂).

Найти координаты точки пересечения прямых можно решив систему уравнений, определяющих эти прямые.

Расстояние от точки М₀(х₀, у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле:

9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.