1. Основные свойства определенного интеграла

1. П остоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен сумме их интегралов:

3. Можно разбивать пределы интегрирования:

4 .

5 .

6 . Если поменять местами пределы интегрирования, то измениться знак определенного интеграла:

7 .

1. Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям и подстановкой.

1. М етод подстановки. Пусть функция f (x) непрерывная на отрезке [a, b], функция x = j(t) имеет непрерывную производную на , множеством значений функции x = j(t) является отрезок [a, b], и . Тогда

При вычислении определенного интеграла способом подстановки новая переменная вводится подобно вычислению неопределенного интеграла. Однако в полученном результате не нужно возвращаться к прежней переменной в отличие от неопределенного интеграла.

_{Метод интегрирования по частям.} Пусть функции и и v имеют непрерывные производные на отрезке [a, b].Тогда интегрируя обе части равенства в пределах от а до в получим

Это формула называется формулой интегрированием по частям для определенного интеграла.

_{Пример:}

2. Матрица, виды матриц. Действия над матрицами: сложение матриц,

умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, умножение матриц.

Матрицей называют прямоугольную таблицу, составленную из каких – либо математических объектов (элементов), в простейшем случае – из чисел. Принятое обозначение:

В общем случае числа строк m и столбцов n произвольны и определяют размер матрицы, обозначаемый (m n).

Если матрица содержит одну строку, то она называется матрицей-строкой А = (а₁₁, а₁₂, …, а_1n); аналогично определяется матрица–столбец (размеры – (1 n) и (m 1) соответственно).

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Если в квадратной матрице А поменять местами столбцы и строки, то получим новую матрицу, обозначаемую А* и называемую траспонированной (сама операция замены называется траспонированием).

Квадратная матрица, у которой все элементы (кроме, может быть, стоящих по главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол) равны нулю, называется диагональной.

Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, которые находятся над (или под) главной диагональю, равны нулю.

Такая матрица, если все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.

Нулевой называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

Квадратную матрицу, в которой а_ij = a_ji называют симметрической (такая матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. А = А*).

Две матрицы А и В считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. а_mn = b_mn.

1. Действия с матрицами

   1. Сложение матриц

Матрицы одинакового размера можно складывать, получая новую матрицу того же размера по формуле:

2. Умножение матрицы на число

Произведением числа  на матрицу А называют матрицу определяемую равенством:

2.3 Умножение матриц

Умножение матриц возможно в том случае, если число столбцов умножаемой матрицы равно числу строк матрицы множителя. Размер матрицы-произведения определяется соотношением (m n) (n k)=(m k). Произведение матриц А и В, обозначаемое АВ находят по правилу:

т.е. элемент матрицы – произведения, стоящий в i – й строке и к – ом столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i – й строки матрицы А и к – ого столбца матрицы В.

Пример: Найти произведение матриц

3. Детерминант (определитель) матрицы, его свойства. Обратная матрица.

4. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

5. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений: метод Крамера решения невырожденных квадратных линейных систем, метод Гаусса нахождения общего решения.

Теорема Кронекера – Капелли гласит: Для совместности системы уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. r(A) = r(А₁) = r

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (r = n) – система определенная. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система – неопределенная (имеет бесконечное множество решений).