58. Сызықтық блокты кодтар.

Басқа атауы – жүйелік кодтар. Оның ерекшелігі – екі рұқсат етілген кодтық комбинациялардың модулі 2 бойынша қосындысы соңында әрқашан рұқсат етілген кодық комбинацияны береді. Сонымен қатар, жүйелік кодтарда ақпараттық символдар кодалау кезінде өзгермейді және ерте анықталған берілген орындарды алады. Тексеретін символдар сызықты ақпараттық символдың комбинациясы ретінде шешіледі, сондықтан олардың басқа атауы – сызықты болып табылады. Жүйелік кодтар үшін [n, k] –белгіленуі қолданылады, мұндағы k – кодтық комбинациядағы ақпараттық символдардың саны, n – кодтағы символдардың жалпы саны. Сызықтық блокты кодтарға Циклдік, Хэмминг, т.б кодтар жатады. қара. сұрақ №60.

59. Туғызатын және тексеретін матрица. Бізге алынған векторларды декодалауға мүмкіндік беретін тексеру матрицасы деп аталатын H матрицасын анықтайық. G генераторының әрбір (k*n) матрицасы үшін G матрицасының жолдары H матрицасының жолдарына ортогональді болатындай (n- k) * n өлшемді H матрицасы болады. Басқаша айтқанда, GH^T= 0, мұндағы H^T – транспозицияланған H матрицасы, ал 0 – k*(n-k) өлшемді нөлдік матрица. Н^г – бұл жолдары H матрицасының бағандары болып, ал бағандары – H матрицасының жолдары болып табылатын k*(n-k) өлшемді матрица. H матрицасы жүйелік кодтың ортогональдығы талаптарын қанағаттандыруы үшін оның компоненттері келесі түрде жазылады:

(7.10)

Демек, H^T матрицасы келесі түрде болады

(7.11)

G-мен генерацияланатын кез-келген U кодтық сөзінің және H^T матрицасының UH^T көбейтілуі келесіні беретініне көз жеткізу қиын емес.

(7.12)

Мұндағы p₁ p₂ p_n-k жұптық биттері анықталған. Осылайша, H тексеру матрицасы ортогональдық талаптарын қанағаттандыратындай етіп жасалғандықтан, ол қабылданған векторлардың берілген кодтық сөздер жиынтығының құрамына кіретін-кірмейтіндігін тексеруге мүмкіндік береді. Тек қана UH^T = 0 болғанда ғана U – G матрицасымен генерациаланатын кодтық сөз болады.

60. Хэмминг кодтары. Циклдік кодтар

Хэмминг кодтары (Hamming codes) – бұл құрылымы келесідей блоктық кодтардың жай класы:

(7.13)

Мұндағы m= 2,3,… Бұл кодтардың минимальді арақашықтығы 3-ке тең, сол себепті олар барлық бірбиттік қателерді жөндеуге немесе блоктағы екі не одан аз қателердің ішінен барлық қате комбинацияларды анықтауға қабілетті. Синдромдар көмегімен декодалау әсіресе Хэмминг кодтарына жақсы сәйкес келеді. Іс жүзінде синдромды қате орналасқан орынның екілік көрсеткішіне айналдыруға болады. Хэмминг кодтары тым қуатты болмағанымен, олар блоктық кодтардың кемелденген (мүлтіксіз) деп аталатын шектеулі класына жатады.

Егер қатаң декодалау қолданылады деп жорамалдасақ, биттік қатенің пайда болу ықтималдығын (7.14) теңдеуі көмегімен жазуға болады.

(7.14)

Мұндағы р – арналық символдың қате қабылдану ықтималдығы (екілік симметриялық арнадағы өту ықтималдығы). (7.14) теңдеуінің орнына оған баламалы басқа бір теңдеуді қолдана аламыз

(7.15)

7.2 суретінде декодаланған биттегі қате ықтималдығының арналық символдағы қате ықтималдығына тәуелділік графигі келтірілген, онда әртүрлі блоктық кодтар салыстырылады. Хэмминг кодтары үшін графикте m=3, 4 және 5 немесе (n, k) = (7,4), (15,11), (31,26) мәндері алынған. BPSK сигналдарының когерентті демодуляциясы қолданылған гаустық арнаны сипаттау үшін арналық символдағы қате ықтималдығын E_b/N_o арқылы өрнектеуге болады.

(7.16)

7.2 сурет – Биттік қатенің арналық символдағы қате ықтималдығына тәуелділігі

Мұндағы E_b/N₀ – кодтық символ энергясының шу қуатының спектрлік тығыздығына қатынасы. E_b/N₀-ді спектрлік шу тығыздығының бір бірлігіне (E_b/N₀) келетін ақпараттық бит энергиясымен байланыстыру үшін келесі өрнекті қолданамыз.

(7.17)

Хэмминг кодтары үшін (7.17) теңдеуі келесідей түрге енеді.

(7.18)

(7.15), (7.16) және (7.18) теңдеулерін біріктіре отырып, BPSK сигналдарының когерентті демодуляциясы кезіндегі гаустық арнадағы Р_В-ны E_b/N₀ функциясы түрінде өрнектеуге болады. Блоктық кодтардың әртүрлі типьері үшін нәтижелер 7.3 суретінде бейнеленген. Хэмминг кодтары үшін келесі нәтижелер алынған: (n,к) = (7, 4), (15,11), (31, 26).

7.3 сурет – Когерентті демодуляция кезіндегі Р_В-ның E_b/N₀-не тәуелділігі

Циклдік кодтар. Сызықтық блоктық кодтардың маңызды бір тармағы екілік циклдік кодтар (cyclic codes) болып табылады. Код кері байланысты ығыстыру регистрінде жеңі жүзеге асады; осындай кері байланысты ығыстыру регистрлерінде синдром есептелінеді; циклдік кодтың алгебралық құрылымы декодалау әдістерін табиғи түрде тиімді жүзеге асыруға мүмкіндік береді. Сонымен, егер (n, к) сызықтық кодының келесідей қасиеті болса, ол циклдік деп аталады. Егер U= (u₀, u₁, и₂, …, u_n-1) n-кортежі S жазықтықтармағындағы кодтық сөз болса, онда циклдік ығыстыру көмегімен U-дан алынған U(1)= (u_n-1, u₀, u₁, и₂,..., u_n-₁), S-тағы кодтық сөз болып табылады. Немесе, жалпы айтқанда, i циклдік ығыстырулар арқылы алынған U(i) = (u_n-i;. u_n-i+1,…, u_n-1, u₀, u_1,… u_n-i-1), S-тағы кодтық сөз болып табылады.

Хэмминг коды. Циклдік кодтар класына блок ұзындығы n=2^m-1 және n-k=m тексеру символдары бар (мұндағы m – кез-келген оң бүтін сан) Хэмминг кодтары кіреді. Бұл кодтар жоғарыда сипатталған Хэмминг кодтарына баламалы.