1. Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів.

Тобто квадрат кожного члена геометричної прогресії, крім першого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Якщо b_m-1, b_m, b_m+1 - три послідовні члени геометричної прогресії, то

2. Добуток двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює добутку крайніх членів.

Доведемо цю властивість у загальному вигляді.

Доведення.

Нехай геометрична прогресія (b_n) має n членів. Члени прогресії, що стоять на k-му місці від початку та на k-му місці від її кінця, відповідно дорівнюють:

b_k=b₁ × q^k-1

b_n-k+1=b₁ × q^n-k

Утворимо їх добуток:×

b_k × b_n-k+1 = b₁ × q^k-1 × b₁ × q^n-k = b₁ × b₁ × q^n-1= b₁ × b_n, що й треба було довести.

В класі з високим рівнем підготовки учнів можна, за наявності часу, довести дані твердження.

Якщо діти окремого класу мають низький рівень підготовки, то кількість доведень доцільно обмежити, а усю увагу приділити вирішенню прикладів та задач. Якщо ж дана тема вивчається з учнями з високим рівнем підготовки, то більше часу виділити на пояснення, а саме на вирішення завдань підвищеної складності.

Задачі даної тема потребують чіткого розуміння її означень, та добре запам’ятання вивчених формул та вміння їх застосувати при розв’язувані задач.

Доцільно, щоб учні раціонально переводили сюжетну форму формування задачі у формулу заданої функції, з використанням основних формул.

До типових помилок учнів можна віднести:

- плутання формул арифметичної та геометричної прогресії;

неправильну підстановку даних значень у формулу, або неправильне її обчислення;

• невміння переводити текстову задачу в математичну.

§ 3. Методичний аналіз теоретичного матеріалу теми «Числові послідовності» за підручником Алгебри г.П. Бевз

Тема "Числові послідовності" - четверта та остання тема курсу алгебри 9-го класу, на вивчення якої відведено 12 годин. Тема має велике значення, оскільки числова послідовність є математичною модель реальних процесів. Ця тема має велике значення у курсі шкільного курсу алгебри, так як дає базові знання, що необхідні при подальшому вивченні алгебри у старших класах. Але разом з тим, тема не надто тісно пов’язана з уже пройденим матеріалом, що дає можливість учням з низьким рівнем знань легко оволодіти нею. Це одна з найцікавіших тем шкільного курсу математики так як містить чимало цікавих задач, що можуть з легкістю зацікавити учнів та заохотити їх до вивчання теми.

Дана тема за підручником має таку структуру:

Послідовність

Арифметична прогресія

Числова послідовність

Задачі на обчислення суми

Геометрична прогресія

Вивчення даної теми спрямоване на набуття нових знань, умінь та навичок учнів. Вони повинні засвоїти зміст означень числової послідовності, арифметичної та геометричної прогресій; формул загального члена арифметичної та геометричної прогресій, суми перших п членів цих прогресій, суми нескінченної геометричної прогресії (| q |<1).

Також важливою навичкою є вміння розпізнавати:

• арифметичну, геометричну прогресії серед даних послідовностей;

• наводити приклади арифметичної, геометричної прогресій;

• формулювати означення і властивості арифметичної, геометричної прогресій;

• записувати і пояснювати формули загального члена арифметичної та геометричної прогресій, суми перших п членів цих прогресій, суми нескінченної геометричної прогресії (| q |<1).

Виробити уміння розв'язувати вправи що передбачають:

• обчислення членів арифметичної, геометричної прогресій;

• завдання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями між ними, обчис­лення сум перших п членів цих прогресій;

• запис десяткового періодичного дробу у вигляді звичайного;

• використання формул загальних членів і сум прогресій для знаходження невідомих членів прогресій.

До базових знань необхідних для вивчення теми числова послідовність можна віднести поняття функції,аргументу; знаходження області визначення функції; знаходження значення функції за даними аргументу; способи задання функції; функціональних залежностей.

Основними поняттями теми (за підручником алгебри 9клас Г. П. Бевз [3]) є:

1. Означення. Числова послідовність – функція, задана на множині усіх натуральних чисел або на множині перших n натуральних чисел.

2. Означення. Послідовність називають зростаючою, якщо кожний її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Послідовність називають спадаючою, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього.

3. Означення. Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне і те саме число. Це стале для даної послідовності число d називають різницею арифметичної прогресії.

4. Формула n-го члена арифметичної прогресії:

.

5. Формула суми n перших членів арифметичної прогресії:

6. Означення. Геометричною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале число для даної послідовності число q називають знаменником геометричної прогресії.

7. Загальна формула геометричної прогресії : b_n = b₁× q^n-1

8. Формула суми n перших членів геометричної прогресії:

9. Формула суми нескінченності періодичних періодичних десяткових дробів прогресії

Що стосується способу вивчення означень та формул, я вважаю, що можливо використати роздільний спосіб, для кращого запам’ятовування змісту означень.

У класах з низьким рівнем підготовки учнів доцільно використати конкретно-індуктивний спосіб введення цих понять, якщо достатньо часу.

Основними твердженнями теми є:

1. Теорема 1. Будь-який член арифметичної прогресії, крім першого, дорівнює півсумі двох сусідніх з ним членів:

Доведення. За означенням,

Отже , звідси

2. Теорема 2. Сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів

a_k + a_{n – (k – 1)}=a₁+a_n .

Нехай дано n членів скінченої арифметичної прогресії:

a₁ , a₂, a₃, …, a_n-3 , a_n-2 , a_n-1, a_{n .}

Додамо перший та останній її член, потім – другий і попередній, потім – третій член від початку і третій член від кінця і т. д. Результати маємо однакові. Справді, якщо a₁+a_n = m ,то:

a₂+a_{n – 1} = (a₁+d)+(a_n – d )=a₁+a_n=m;

a₃+a_{n – 2}= (a₂+d)+(a_{n – 1} – d )=a₂+a_{n – 1} =m;

a₄+a_{n – 3}= (a₃+d)+(a_{n – 2} – d )=a₃+a_{n – 2} =m;

і т. д. Отже, a_k + a_{n – (k – 1)}=a₁+a_n .

3. Теорема 3. Сума членів скінченої арифметичної прогресії дорівнює півсумі крайніх іі членів, помножені на число членів:

Нехай - сума n членів арифметичної прогресії

a₁ , a₂, a₃, …, a_n-3 , a_n-2 , a_n-1, a_{n .}

якщо a₁+a_n = m, то a₂+a_{n – 1} = m, a₃+a_{n – 2} = m і т.д.

Враховуючи це, додамо почленно дві рівності :

= a₁ + a₂ + a₃ + …+ a_n-2 + a_n-1 + a_{n .}

= m + m + m + … + m + m + m

= mn; = (a₁ + a_n)n , звідси

З цієї формули знаходимо суму перших n членів будь-якої арифметичної прогресії.

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знаходити також за формулою:

4. Теорема 4. Квадрат кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх його членів:

Доведення. За означенням a

Отже,

5. Теорема 5. Сума n перших членів геометричної прогресії за умовою, що , виражається формулою :

Доведення.

Нехай = b₁q + b₁ q² + b₁ × q³ + … + b₁ × q^{n – 1} + b₁ × qⁿ

b₁ + b₁ × q + b₁ × q² + … + b₁ × q^{n – 2} + b₁ × q^{n – 1} . Помножимо обидві частини рівності на q:

= b₁ ×q + b₁ ×q² + b₁ × q³ + … + b₁ × q^{n – 1} + b₁ × qⁿ

Віднімемо почленно від цієї рівності попередню, однакові доданки b₁×q,

b₁ ×q², b₁ × q³ , … ,b₁ × q^{n – 1}, b₁ × qⁿ взаємно знищаться. В результаті матимемо:

= b₁ × qⁿ – b₁, = b₁ × ( qⁿ – 1)

звідси

Це формула суми n перших членів геометричної прогресії з першим членом b₁ і знаменником q 1.

Якщо q=1, то цієї формулою користуватись на можна. У цьому випадку, кожний член геометричної прогресії дорівнює b_1, тому S_n=nb₁ .

Якщо діти окремого класу мають низький рівень підготовки, то кількість доведень доцільно обмежити, а усю увагу приділити вирішенню прикладів та задач. Якщо ж дана тема вивчається з учнями з високим рівнем підготовки, то більше часу виділити на пояснення, а саме на вирішення завдань підвищеної складності.

Задачі даної тема потребують чіткого розуміння її означень, та добре запам’ятання вивчених формул та вміння їх застосувати при розв’язувані задач.

Доцільно, щоб учні раціонально переводили сюжетну форму формування задачі у формулу заданої функції, з використанням основних формул.

До типових помилок учнів можна віднести:

- плутання формул арифметичної та геометричної прогресії;

неправильну підстановку даних значень у формулу, або неправильне її обчислення;

• невміння переводити текстову задачу в математичну.