Задача 2

Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.

1) Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.

2) Если существует риск (вероятность конъюнктуры К₁ – b%, К₂ – c%,

К₃ – d%), то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?

Таблица 3

План продажи	Величина дохода, ден. ед.
	К1	К2	К3
П1	3	5	1
П2	1	4	3
П3	4	2	5

b = 40%, c = 30%, d = 30%

Решение

1. Обозначим вероятность применения торговой фирмой стратегии П₁ – х₁, стратегии П₂ – х₂, П₃ – х₃; вероятность использования стратегии К₁ – у₁, стратегии К₂ – у₂, К₃ – у₃;

Для первого игрока (торговой фирмы) математическая модель задачи имеет вид: L = Х₁ + Х₂ + Х₃ → min

при ограничениях: 3Х₁ + Х₂ + 4Х₃ ≥ 1,

5Х₁ + 4Х₂ + 2Х₃ ≥ 1,

Х₁ + 3Х₂ – 5Х₃ ≥ 1,

Х_i  0, i = ,

где Х_i = х_i / v, v = 1/ L .

Для второго игрока (конъюнктуры рынка и спроса покупателей) математическая модель задачи имеет вид:

S = Y₁ + Y₂ + Y₃ → max

при ограничениях: 3Y₁ + 5Y₂ + Y₃ ≤ 1,

Y₁ + 4Y₂ + 3Y₃ ≤ 1,

4Y₁ + 2Y₂ – 5Y₃ ≤ 1,

Х_i  0, i = ,

где Y_j = y_j / v, v = 1/ S .

Найдем решение задачи с помощью MS Excel.

Введем данные модели для второго игрока, как показано в таблице:

Таблица 4

	А	B	C	D	E	F
1	Модель для второго игрока
2		3	5	1		1
3		1	4	3		1
4		4	2	5		1
5
6		Y1	Y2	Y3		ΣY
7						=СУММ(B7:D7)
8
9		=СУММПРОИЗВ(B2:D2;$B$7$D$7)
10		=СУММПРОИЗВ(B3:D3;$B$7$D$7)
11		=СУММПРОИЗВ(B4:D4;$B$7$D$7)
12
13		y1	y2	y3
14		=B7/$F$7	=C7/$F$7	=D7/$F$7

В ячейки B2:D4 занесем значения коэффициентов ограничений, т.е. матрицу, взятую из исходной таблицы. В ячейки F2:F4 введем 1. Под переменные Y₁, Y₂, Y₃ отведем диапазон ячеек B7:D7.

В ячейку F7 введем формулу: = СУММ(B7:D7), которая представляет целевую функцию.

В ячейку В9 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(B2:D2;$B$7$D$7);

с помощью автозаполнения скопируем ее в ячейки B10, B11. В ячейку B14 введем формулу: =B7/$F$7; скопируем ее в ячейки C14 и D14.

В диалоговом окне "Поиск решения" установим целевую ячейку $F$7; для группы "Равной" выберем вариант "максимальному значению". В поле "Изменяя ячейки" введем $B$7:$D$7;

в поле "Ограничения" введем $B$9:$B$11   $F$2:$F$4 и $B$7:$D$7   0.

После нажатия кнопки "Выполнить" программой Excel получено решение:

Таблица 5

	А	B	C	D	E	F
1	Модель для второго игрока
2		3	5	1		1
3		1	4	3		1
4		4	2	5		1
5
6		Y1	Y2	Y3		ΣY
7		0,031746	0,15873	0,111111		0,301587
8
9		1
10		1
11		1
12
13		y1	y2	y3
14		0,105263	0,526316	0,368421

Таким образом, оптимальная стратегия второго игрока

= (0,105263; 0,526316; 0,368421); при этом его расходы будут не более v = 1/ S = 1/0, 301587=3,315792789 ден. ед.

Введем данные модели для первого игрока, как показано в таблице:

Таблица 6

	А	B	C	D	E	F	G	H
1	Модель для первого игрока
2
3		3	5	1	Х1		х1	F3/$F$7
4		1	4	3	Х2		х2	F4/$F$7
5		4	2	5	Х3		х3	F5/$F$7
6
7		1	1	1	ΣХ	=СУММ(F3:F5)
8
9		=СУММПРОИЗВ(B3:B5;$F$3$F$5)	=СУММПРОИЗВ(С3:С5;$F$3$F$5)	=СУММПРОИЗВ(D3:D5;$F$3$F$5)

В ячейки B3:D5 занесем значения коэффициентов из исходной таблицы.

В ячейки B7:D7 введем строку (1, 1, 1). Под переменные Х₁, Х₂, Х₃ отведем диапазон ячеек F3:F5.

В ячейку F7 введем формулу: = СУММ(F3:F5), которая представляет целевую функцию. В ячейку В9 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(B3:B5;$F$3$F$5);

с помощью автозаполнения скопируем ее в ячейки С9, D9. В ячейку Н3 введем формулу: =F3/$F$7; скопируем ее в ячейки Н4 и Н5.

В диалоговом окне "Поиск решения" установим целевую ячейку $F$7; для группы "Равной" выберем вариант "минимальному значению".

В поле "Изменяя ячейки" введем $F$3:$F$5; в поле "Ограничения" введем ограничения $B$9:$D$9   1 и $F$3:$F$5  0.

После нажатия кнопки "Выполнить" программой Excel получено решение:

Таблица 7

	А	B			C	D		E		F	G	H
1	Модель для первого игрока
2
3			3	5			1		Х1	0,111111	х1	0,368421
4			1	4			3		Х2	0,031746	х2	0,105263
5			4	2			5		Х3	0,15873	х3	0,526316
6
7			1	1			1		ΣХ	0,301587
8
9			1	1			1

Итак, оптимальная стратегия фирмы

= (0, 368421; 0, 105263; 0, 526316);

при этом фирма получит доход не менее

v = 1/ L = 1/0,301587= 3,315792789 ден. ед.

2. Если существует риск при известной вероятности конъюнктуры p_j , то оптимальный план продажи товаров определим по критерию максимального математического ожидания дохода

М₁ = 3 · 0,40+ 5 · 0,30 + 1 · 0,30 = 3

М₂ = 1 · 0,40 + 4 · 0,30 + 3 · 0,30 = 2,5

М₃ = 4 · 0,40 + 2 · 0,30 + 5 · 0,30 = 1,1

М_max = 3, оптимальный план продажи товаров – П₁.

Ответ: 1) оптимальная стратегия фирмы

= (0, 368421; 0, 105263; 0, 526316);

2) при заданной вероятности конъюнктуры оптимальная стратегия фирмы – П₁.