§3. Поиск целочисленного решения двойственной задачи.

Составим задачу, двойственную к исходной задаче (9) – (10). Мы получим следующую задачу на минимум:

g(U) = 4u₁ +12u₂ + 4u₃  min, (12)

u₁ + 5u₂ +2u₃ 2,

3u₁ - u₃  1, (13)

– 2u₁ -u₂ +3u₃  – 3,

u₁, u_{2 ,}u₃ 0.

Обозначим через – оптимальный опорный план двойственной задачи (12) – (13) воспользуемся теоремой о равновесии.

1. Подставим координаты оптимального опорного плана в систему ограничений (10):

Так как второе ограничение превратилось в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального опорного плана двойственной задачи равна нулю ( ). Осталось найти компоненты и . Для этого воспользуемся второй частью теоремы о равновесии.

2. Так как первая и вторая компоненты оптимального опорного плана строго больше нуля ( ), то соответствующие (первое и второе) ограничения двойственной задачи, при подстановке в них компонент оптимального плана , обратятся в равенства. Данные равенства дают нам систему линейных уравнений для нахождения и :

(14)

Подставляя в систему (14) уже найденное значение , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(15)

Решением данной системы является . Таким образом, мы нашли оптимальный опорный план двойственной задачи: . При этом экстремальные значения функций цели взаимно-двойственных задач совпадают:

.

Теперь по двойственной задаче найдем опорный план, который соответствует целочисленному решению основной задачи(9)-(10).

Алгоритм нахождения целочисленного оптимального опорного плана такой же.

Через обозначим целочисленный оптимальный опорный план двойственной задачи (12) – (13) воспользуемся теоремой о равновесии.

3. Подставим координаты целочисленного оптимального опорного плана в систему ограничений (10):

Так как первое и второе ограничения превратились в строгие неравенства, то соответствующие компоненты оптимального опорного плана двойственной задачи равны нулю ( ). Осталось найти компоненту . Для этого воспользуемся второй частью теоремы о равновесии.

Так как первая компонента целочисленного оптимального опорного плана строго больше нуля, то соответствующее (первое) ограничение двойственной задачи, при подстановке в него компонент целочисленного оптимального плана , обратится в равенство. Получим уравнение , из которого легко найти , подставляя найденные ранее значения . Т.е. =1.

Таким образом, мы нашли целочисленный оптимальный опорный план двойственной задачи: . При этом экстремальные значения функций цели взаимно-двойственных задач совпадают:

.

Составим исходную таблицу к задаче (12)-(13)(предварительно сделав ее на максимум и ограничения вида ). После двух шагов модифицированных жордановых исключений, приходим к оптимальному опорному плану двойственной задачи, записанному в таблице 12. Полученное оптимальное решение u₁=4/7, u₂=0, u₃=5/7 нецелочисленно, поэтому приступаем к отысканию целочисленного плана двойственной задачи. Проведем его двумя путями: обычным симплекс-методом и двойственным.

Выбираем среди свободных членов дробный. Так как в нашем

примере все они дробные, берем любой из них, например 5/7 из

первой строки.

Таблица 12

	-v2 -u2 -v1	1
u3= u1= v3=	1/7 15/7 -3/7 -2/7 5/7 -1/7 1 6 -1	5/7 4/7 4
g=	4/7 4/7 16/7	-36/7

По формулам (4) находим дробные доли коэффициентов b выбранной первой строки:

Дополнительное ограничение будет иметь вид

Вводим это ограничение в задачу и получаем табл.13.

Таблица 13

	-v2 -u2 -v1	1
u3= u1= v3= s1=	1/7 15/7 -3/7 -2/7 5/7 -1/7 1 6 -1 -1/7 -1/7 -4/7	5/7 4/7 4 -5/7
g=	4/7 4/7 16/7	-36/7

План, записанный в таблице, стал недопустимым. Принимаем за разрешающий элемент число (-4/7), делаем шаг модифицированных жордановых исключений и приходим к таблице 14.

Таблица 14

	-v2 -u2 -s1	1
u3= u1= v3= v1=	1/4 9/4 -3/4 -1/4 3/4 -1/4 5/4 25/4 -7/4 1/4 1/4 -7/4	5/4 4/7 21/4 5/4
g=	0 0 4	-8

Найденное решение оптимально, но не целочисленно. Берем дробный свободный член 5/4 снова в первой строке и по коэффициентам этой строки формулируем аналогично предыдущему второе дополнительное условие. Практически оно составляется прямо в таблице, поскольку дробные доли коэффициентов легко вычисляются в уме. Записывать их надо со знаком минус (табл.15

Таблица 15

	-v2 -u2 -s1	1
u3= u1= v3= v1= s2=	1/4 9/4 -3/4 -1/4 3/4 -1/4 5/4 25/4 -7/4 1/4 1/4 -7/4 -1/4 -1/4 -1/4	5/4 3/4 21/4 5/4 -1/4
g=	0 0 4	-8

План, записанный в табл. 15, снова является недопустимым.

Выбираем разрешающий элемент (-1/4) и делаем еще один

шаг (табл. 16). План, полученный в табл. 16, является допустимым, оптимальным и целочисленным.

Таблица 16

	-s2 -u2 -s1	1
u3= u1= v3= v1= v2=	1 2 -1 -1 1 0 5 5 -3 1 0 -2 -4 1 1	1 1 4 1 1
g=	0 0 4	-8

Таким образом,