Лекция 3 Динамическое программирование и оптимизационная задача перемножения матриц.

Пусть дано n-матриц (A₁, А₂,…, A_n),согласованных по размерам, т.е.

A_i p_i-1*p_i, i= ,

p=(p₀, p₁,…, p_n).

Требуется определить порядок перемножения матриц, используя алгоритм перемножения двух матриц, при котором общее число операций перемножения будет минимальным.

=

C_ij= = , =

r*q*s – общее число операций перемножения.

Порядок перемножения матриц:

А₁*А₂*А₃

1. либо ((А₁*А₂)*А₃);

2. либо (А₁*(А₂*А₃));

Например, матрица А₁ имеет размерность 10*5, А₂ – размерность 5*6 и матрица А₃ – размерность 6*2. Тогда проведя расчеты обоими способами, получим:

1. 10*5*6=300, 10*6*2=120, то есть 420 операций умножения.

2. 5*6*2=60, 10*5*2=100, то есть 160 операций умножения.

Определение: Произведением с правильно расставленными скобками n –матриц называется либо одна матрица (если n =1), либо заключенное в круглые скобки произведение с правильно расставленными скобками.

Сколько существует способов правильной расстановки скобок Q(n)?

Оценим это число снизу. Не нарушая общности, будем считать, что n кратно трем, т.е. n=3k.

Разобьем всю последовательность наших матриц на тройки.

…

Таких троек k-штук.

Оценим снизу: Q(n) = 2^n/3 (1)

Можно оценить по-другому.

Рассмотрим два способа расстановки скобок:

A₁*(A₂*…*A_n) или (A₁*…*A_n-1)*A_n.

Число способов расстановки скобок будет не меньше, чем в скобках первого и второго представлений, т.е:

Q(n) Q(n-1)+Q(n-1) = 2Q(n-1) 2²Q(n-2) 2³Q(n-3) … 2^n-2Q(2) 2^n-2.

Видим, что число вариантов в задаче экспоненциально зависит от размерности задачи (n):

Q(n)= (n). Это значит, что полный перебор вариантов даст экспоненциальный алгоритм.

Применим к задаче метод динамического программирования.

1. Структура оптимального решения задачи.

Введем некоторое обозначение.

A_i..j – результат перемножения матриц A_i *A_i+1*…*A_j.

В частном случае, когда i=j, A_i..j=A_ii.

Если i<j, то A_i..j=(A_ik*A_k+1..j)

k- индекс матрицы, который определяется на последнем шаге.

A_1..3=((A₁*A₂)*A₃)=(A_1..2*A₃), где A_1..2 =(A₁*A₂).

S_i..j – некоторый способ расстановки парных скобок, то есть это и есть решение задачи.

Обозначим через F(S_i..j) –число операций умножения.

Теорема. («Структура оптимального решения»).

Пусть S^*_i..j – оптимальный способ расстановки скобок в задаче, которому соответствует минимальное число операций умножения.

F = F(S^*_i..n). Пусть на некотором шаге перемножаются матрицы A_{1.. k}*A_{k.. n} =>

=> Части этого (исходного) способа S^*_1..k* и S^*_k*+1..n – являются оптимальными расстановками скобок при вычислении таких произведений: A_1..k* и A_k*+1..n.

Доказательство.

F = F(S^*_1..n) = F(S^*_i..k*)+ F(S^*_k*+1..n)+p₀*p_k*p_n (1) (Это вытекает из условий теоремы.).

Если предположить, что один из подспособов не является оптимальным, т.е., например,

S^*_1..k* - не оптимально. Тогда , заменив его на оптимальный S^**_1..k*, получим, что в формуле (1) уменьшится первое слагаемое, что приведет к уменьшения всего выражения, что даст противоречие с тем, что S^*_1..n – оптимальное решение. То есть пришли к противоречию, теорема доказана.●

Введем подзадачу, связанную с вычислением A_i..j. m[i, j] – элемент массива, который определяет оптимальное значение целевой функции подзадачи, т.е. m[i, j]=F(S^*_i..j).

Чтобы решить исходную задачу, надо решить две подзадачи, у каждой из которых также возникает две подзадачи, и т.д., то есть эту структуру можно представить в след виде:

A_1..n

A_1..k* A_k*+1..n

A_1..k** A_k**+1..k* … …

Выводим рекуррентное соотношение.

(2) m[i, j] =

(3) s[i,j]:= k^* -это то k, при котором указанный минимум достигается.

S – функция, определяющая допустимое оптимальное решение.