Лекция 11 доминирующие множества и абсолютный центр.

1. Доминирующие множества.

Задан ориентированный граф .

Определение: Множество - доминирующее множество, если (т.е. подмножество вершин, выбранное так, что для каждой вершины i, не входящей в S, существует дуга, идущая из некоторой вершины множества S в вершину i).

Ставится задача минимизации мощности доминирующего множества: .

Для простоты будем рассматривать эту задачу для двудольного ориентированного графа . В этом случае доминирующее множество может быть определено следующим образом: или .

Построим характеристическую булеву функцию:

,

Утверждение 1: - доминирующее множество.

Доказательство:

Необходимость. , значит, , значит, найдется вершина , значит, доминирует j. Набор таких и определит множество S.

Достаточность. S – доминирующее, значит, , то есть i доминирует j, следовательно, присутствует в сомножителе для , и, по дизъюнкции, .

Напомним некоторые правила упрощения булевской алгебры:

• 

• 

• 

• 

• 

Пример. Построить минимальную нормальную дизъюнктивную форму . Найти слагаемое минимальной стоимости, оно и определит минимальное доминирующее множество.

Минимальная мощность равна двум, поэтому в качестве минимального доминирующего множества можно взять, например, {1,2} (или {2,3}, {1,4}, {2,4}).

.

2. Нахождение абсолютного p-центра

Задан неориентированный граф с весовыми функциями , .

Зафиксируем . Рассмотрим , понимая как объединение всех точек ребер:

Определение: Расстояние , где .

…

…

Поставим в соответствие Y значение s(Y) – взвешенное расстояние до наиболее удаленной вершины:

Возникает задача

Зафиксируем λ и будем строить множество тех точек , из которых вершина I достижима в пределах λ (с учетом веса вершины): .

Необходимо построить некоторую процедуру, которая при заданном λ определяет минимальное число точек (и сами эти точки), для которых все вершины достижимы в пределах λ.

Построение :

i – зафиксировано. Применим алгоритм Дейкстры из вершины i, т.е найдем все d(y,i). Ограничимся , для которых

После этого строим вспомогательные множества R: рассмотрим все инцидентные ребра и для определим ту часть ребра, из точек которой вершина i достижима в пределах λ.

Это эквивалентно определению α из неравенства . Если неравенство выполнено для всех , то из любой точки ребра вершина i достижима в пределах λ. Если , то i достижима только из точки ребра (j,i), определенной длиной .

П ример:

λ:=3

1. i=1.

R	Ребро	Часть ребра	Вершины
	(1;2)	[0;3]	1,0,0
	(1;3)	[0;3]	1,0,0

2. i =2

R	Ребро	Часть ребра	Вершины
	(1;2)	[0;3] [0;1)	1,0,0
	(1;3)	[0;3] [0;3)	1,0,0
	(1;2)	[1;3]	1,1,0
	(1;2)	(3;4]	0,1,0
	(2;3)	[0;3]	0,1,0

3. i=3

R	Ребро	Часть ребра	Вершины
	(1;2)	[0;1)	1,0,0
	(1;3)	[0;3)	1,0,0
	(1;2)	[1;3]	1,1,0
	(1;2)	(3;4]	0,1,0
	(2;3)	[0;3]	0,1,0
	(1;3)	[0;3]	1,0,1
	(1;3)	(3;6]	0,0,1
	(2;3)	[5;8]	0,0,1

- множество точек графа G, из которых в пределах взвешенного расстояния λ достижимы только вершины .

Из последнего столбца таблицы следует, что

Строим двудольный граф по следующим правилам:

minS={3,4}. В пределах расстояния 3 абсолютный центр имеет кратность 2.

Общая схема решения.

Вход: G, c, v, , p

1. 

3. 

4. S* - минимальное д.м.

5. |S*|=p – конец, иначе п.6

6. , вернуться на п.2.