Лекция 13 Стохастическая задача размещения-распределения объектов.
Задана некоторая транспортная схема размещения потребителей некоторого продукта, представленная графом, вершины которого соответствуют потребителям (либо перевалочным пунктам). Потребности каждого потребителя являются случайными величинами, про которые известно лишь их вероятностные распределения (в случае перевалочного пункта потребность просто равна нулю). Ставится задача по размещению объектов производства товара, так чтобы при полученном положении стоимость перевозок от объектов к потребителям была минимальной. Размещать объекты можно на ребрах графа, которые соответствуют дорогам, соединяющим потребителям (допускается, вообще говоря, размещение объекта также и в вершине графа, как частный случай).
Должны выполняться следующие требования и ограничения:
Потребности всех потребителей должны быть удовлетворены
Объем распределяемого товара не превосходит производственной мощности
Транспортные затраты должны быть минимальны
Формально задача записывается следующим образом:
-
координаты потребителей;
-
расстояние между потребителями;
-
случайный спрос;
-
производительности объектов;
-
объемы поставок
Математическая модель выглядит следующим образом:
Здесь
- случайная функция, которая определяет
минимальную стоимость, связанную с
оптимальным планом перевозок на текущем
размещении объектов.
есть
ожидаемая стоимость перевозок.
Покажем,
что
:
Но
спрос неотрицателен, значит
.
Для нахождения значения стохастического интеграла можно воспользоваться усиленным законом больших чисел:
Теорема:
- последовательность независимых,
одинаково распределенных случайных
величин с общим математическим ожиданием,
равным μ.
Тогда
.
При
фиксированных
,
получим детерминированную транспортную
задачу.
Задав
и решая транспортную задачу N раз, можно
найти приближенное значение интеграла
.
Таким образом, для фиксированного размещения объектов можно найти ожидаемое значение стоимости перевозок. Минимизировать же это значение можно с использованием генетического алгоритма.