Конспект лекций по спецкурсу «Дополнительные главы исследования операций»

Лекции – 30 час

Лаб работы - 30. час

Лекция 1

Задача “Ближайшая пара”

Пусть даны N точек n-мерного пространства:

Задача о ближайшей паре состоит в поиске двух точек среди данных, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга.

Сформулированную задачу можно решить с помощью следующих алгоритмов:

Алгоритм 1. (”Разделяй и властвуй”)

Данный алгоритм является рекурсивным, он базируется на следующих правилах:

Правило 0.

Разбить множество на два непустых подмножества методом деления пополам (при этом точки должны быть упорядочены по первой координате).

Правило 1.

Если множество состоит не более, чем из 3-х точек, то перебрав все пары точек, найти минимальное расстояние между двумя точками.

Правило 2.

Найти минимальное расстояние d множества V{ } следующим образом:

Пусть множество точек V = { } содержит более 3-х точек. Разбить его на два (см. Правило 0). Вычислить рекурсивно минимальное расстояние для обоих подмножеств соответственно dVL и dVR. Положить d = min(dVL, dVR). Затем среди пар точек PVL и RVR найти две ближайшие, определив расстояние d1. Положить d = min(d, d1).

Алгоритм 2. (”В лоб”)

Вычислить расстояние между любыми двумя точками, а затем найти минимальное путем сравнения.

Формальное описание алгоритма 1 задачи “Ближайшая пара”

Вход: n – число точек

x [1..n, 1..2] – координаты этих точек (упорядоченных по первой

координате)

Выход:

d – расстояние между ближайшей парой

их порядковые номера

1. PRCD(x) num (массив номеров вершин, упорядоченных по второй координате)

2. PAIR(1, n, ) – определяет ближайшую пару

PAIR( k, l, )

– ищет ближайшую пару на множестве точек, начиная с k – ой и кончая l – ой

1. if then

2. 

3. for i:=k to ( l – 1) do

4. for j:=i+1 to l do

5. if then

6. 

7. else PAIR( k, , )

8. PAIR( , l, )

9. 

10. if then

11. else

12. 

13. for i:=k to do

14. if ( x [ i, 1] > q – d ) then

15. for j:=1 to n do

16. if &

& &

then

17. 

18. if then

19. 

Лекция 2 Задача о битоническом пути

Пусть на плоскости даны точек, упорядоченных по оси

Задача: обойти эти точки, начиная с по одному разу так, чтобы вернуться в (через одну точку пройти один раз) и чтобы суммарная длина пути была минимальной.

Данная задача – это частный случай задачи о гамильтоновом контуре.

Нам необходимо найти путь минимальной суммарной длины.

Данная задача решается методом динамического программирования.

Рассмотрим часть пути на множестве вершин

Путь, имеющий самую малую длину обозначим

			…	j
1
	…			i

Возможны случаи:

1. 

Следовательно, часть пути , соединенного с и также будет кратчайшим.

2. 

Следовательно,

3. 

Следовательно, соединяем точки 1 и 2

Теорема

О структуре оптимального решения

Пусть - оптимальный путь на множестве вершин и пусть - предпоследняя вершина, предшествующая , тогда

если , следовательно

если , следовательно

При этом часть пути также является оптимальным.

Доказательство:

Длина кратчайшего пути:

Если одна из частей хотя бы оного из слагаемых не оптимальна, то это противоречит тому, что оптимально.

Обозначим через длину оптимального пути

Р екуррентная формула длины оптимального пути для :

Пример

Даны точки:

(1,7), (2,1), (3,4), (6,5), (7,2), (8,6), (9,3)

	2	3	4	5	6	7
1	6,08 1	9,25 2	12,4 3	15,57 4	19,7 5	22,9 6
2		9,7 1	12,9 3	16 4	20,1 5	23,3 6
3			14,6 1	17,8 4	21,9 5	25,1 6
4				17,9 2	22,1 5	25,2 6
5					20,12 4	23,3 6
6						22,4 5

Сделаем несколько расчетов

OPT =

S[i,j] – номер предпоследней вершины, предшествующей j, i<j

Построим битонический путь:

1	3	4	6
				7
		2	5

Запишем схему сверху-вниз:

Вход: n, x[1..n], y[1..n]

Выход: S, OPT

1. for i:=1 to n-1 do

2. for j:=i+1 to n do

3. if i=j-1

4. then if i=1

5. then m[i,j]:= (i,j)

6. S[i,j]:=i

7. else m[i,j]:=∞

8. for k:=1 to i-1 do

9. d:=m[k,i]+ (k,j)

10. if d<m[i,j]

11. then m[i,j]:=d

12. S[i,j]:=k

13. else m[i,j]:=m[i,j-1]+ (j-1,j)

14. S[i,j]:=j-1

15. OPT:=m[n-1,n]+ (n-1,n)

Процедура выдачи на печать оптимального битонического пути:

Вход: n, S[1..n,1..n]

Выход: на печать

1. st:=” ”, st1:=” ”

2. RPP(n,n)

3. Печать (st, n, st1)

RPP(i,j)

1. If i=1 или j=1

2. Then Return

3. If i=n и j=n

4. Then st1:=str(n-1)+st1

5. RPP(n-1,n)

6. If i<j

7. Then st:=str(S[i,j]+st)

8. RPP(i,S[i,j])

9. If i>j

10. Then st1:= str(st1+S[j,i])

11. RPP(S[j,i],j)

12. Return “ “