Кейс-задание 2
Сырье |
Продукция |
Запасы сырья |
|||
P1 |
P2 |
P3 |
|||
S1 |
5 |
6 |
7 |
100 |
|
S2 |
4 |
5 |
6 |
300 |
|
S3 |
7 |
1 |
2 |
250 |
|
Прибыль |
3 |
5 |
6 |
|
|
ТРЕБУЕТСЯ:
1.Составить математическую модель определения оптимального плана продукции из условия максимальной прибыли предприятия.
F=3x1+5x2 + 6x3→max
2. Привести задачу к каноническому виду.
3. Найти решение полученной задачи симплекс-методом
F= -3x1-5x2 -6x3→min
БП |
X1 |
X2 |
٧ X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
СЧ |
Q |
|
X4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
0 |
0 |
100 |
100/7=142/7 |
*(1/7), *(-6/7),*(-2/7), *(6/7) |
X5 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
0 |
300 |
300/6=50 |
|
X6 |
7 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
250 |
250/2=125 |
|
F |
-3 |
-5 |
-6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
X3 |
5/7 |
6/7 |
1 |
1/7 |
0 |
0 |
100/7 |
|
|
X5 |
-2/7 |
-1/7 |
0 |
-6/7 |
1 |
0 |
1500/7 |
|
|
X6 |
39/7 |
-5/7 |
0 |
-2/7 |
0 |
1 |
1550/7 |
|
|
F |
9/7 |
1/7 |
0 |
6/7 |
0 |
0 |
600/7 |
|
|
Оптимальный план можно записать так: x3 = 142/7 x5 = 2142/7 x6 = 2213/7 F(X) = 6*142/7 + 0*2142/7 + 0*2213/7 = 855/7
4. Excel
5. Математическая модель двойственной задачи
F=3x1+5x2 + 6x3→max
Двойственная задача:
F=100y1+300y2+250y3 →min
7. Симплекс метод и Ecxel
F=100y1+300y2+250y3 →min
F=100y1+300y2+250y3
M(3-
+5-
+6-
)=y1(100-18M)+y2(300-10M)+y3(250-9M)+y4M+
y5M+
y6M+14M
БП |
٧y1 |
y2 |
y3 |
٧٧y4 |
٧٧٧y5 |
y6 |
|
|
|
СЧ |
Q |
|
5 |
4 |
7 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
3/5 |
|
6 |
5 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5 |
5/6 |
|
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
6 |
6/7 |
F |
100-18M |
300-10M |
250-9M |
M |
M |
M |
0 |
0 |
0 |
-14M |
|
y1 |
1 |
4/5 |
7/5 |
-1/5 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
3/5 |
|
|
0 |
1/5 |
-37/5 |
6/5 |
-1 |
0 |
|
1 |
0 |
7/5 |
7/6 |
|
0 |
-23/5 |
-44/5 |
7/5 |
0 |
-1 |
|
0 |
1 |
9/5 |
9/7 |
F |
0 |
220+22/5M |
110+81/5M |
20-13/5M |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
60-16/5M |
|
y1 |
1 |
5/6 |
1/6 |
0 |
-1/6 |
0 |
|
|
0 |
5/6 |
|
y4 |
0 |
1/6 |
-37/6 |
1 |
-5/6 |
0 |
|
|
0 |
7/6 |
|
|
0 |
-29/6 |
-1/6 |
0 |
7/6 |
-1 |
|
|
1 |
1/6 |
1/7 |
F |
0 |
650/3+29/6M |
700/3+1/6M |
0 |
50/3-7/6M |
M |
|
|
0 |
-250/3-1/6M |
|
y1 |
1 |
1/7 |
1/7 |
0 |
0 |
-1/7 |
|
|
|
6/7 |
|
y4 |
0 |
-23/7 |
-44/7 |
1 |
0 |
-5/7 |
|
|
|
9/7 |
|
y5 |
0 |
-29/7 |
1/7 |
0 |
1 |
-6/7 |
|
|
|
1/7 |
|
F |
0 |
2000/7 |
1650/7 |
0 |
0 |
100/7 |
|
|
|
-600/7 |
|
Оптимальный план можно записать так: y1 = 6/7 y2 = 0 y3 = 0 F(Y) = 100*6/7+300*0+250*0=600/7
8.Решение двойственной задачи
По теореме о двойственности:
Если исходная задача имеет оптимальное решение, то двойственная также имеет оптимальное решение причем оптимальное значение целевых функций совпадает.
Fopt = F*opt
Из теоремы двойственности следует, что Y=C*A-1
Составим матрицу А:
A=(A3,A5,A6)
=
D=A-1
=
Y=C*A-1 = (6,0,0) * = (6/7,0,0)
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1=6/7; y2=0; y3=0
F(Y)=100*6/7+300*0+250*0=855/7
9. Excel (двойственная задача)
10. Добавляем еще один товар
Сырье |
Продукция |
Запасы сырья |
|||
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
||
S1 |
5 |
6 |
7 |
1 |
100 |
S2 |
4 |
5 |
6 |
2 |
300 |
S3 |
7 |
1 |
2 |
1 |
250 |
Прибыль |
3 |
5 |
6 |
10 |
|
F= -3x1-5x2 - 6x3-10x4 →min
БП |
X1 |
X2 |
X3 |
٧X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
СЧ |
Q |
|
X5 |
5 |
6 |
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
100 |
100 |
*(-2), *(-1), *(10) |
X6 |
4 |
5 |
6 |
2 |
0 |
1 |
0 |
300 |
150 |
|
X7 |
7 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
250 |
250 |
|
F |
-3 |
-5 |
-6 |
-10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
X4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
100 |
|
|
X6 |
-6 |
-7 |
-8 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
100 |
|
|
X7 |
2 |
-5 |
-5 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
150 |
|
|
F |
47 |
55 |
64 |
0 |
10 |
0 |
0 |
1000 |
|
|
Оптимальный план можно записать так: x4 = 100 F(X) = 10*100 = 1000
Анализ результатов:
Предприятию «P1 & P2» выгодно введение новой в план новой продукции, так как прибыль увеличилась. Новой продукции небольшое количество, а цена достаточно высокая.
11. Оценить целесообразность закупки дополнительно 30 единиц первого ресурса по цене р1=3 у.е.
Сырье |
Продукция |
Запасы сырья |
|||
P1 |
P2 |
P3 |
|
||
S1 |
5 |
6 |
7 |
130 |
|
S2 |
4 |
5 |
6 |
300 |
|
S3 |
7 |
1 |
2 |
250 |
|
Прибыль |
3 |
5 |
6 |
|
|
F= -3x1-5x2 - 6x3-10x4 →min
БП |
X1 |
X2 |
X3٧ |
X4 |
X5 |
X6 |
СЧ |
Q |
|
X5 |
5 |
6 |
7 |
1 |
0 |
0 |
130 |
18 |
*1/7, |
X6 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
1 |
300 |
50 |
|
X7 |
7 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
250 |
125 |
|
F |
-3 |
-5 |
-6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
X4 |
5/7 |
6/7 |
1 |
1/7 |
0 |
0 |
130 |
130/7 |
|
X6 |
-2/7 |
-1/7 |
0 |
0 |
-6/7 |
1 |
40 |
1320/7 |
|
X7 |
39/7 |
-5/7 |
0 |
-2/7 |
0 |
1 |
150 |
1490/7 |
|
F |
9/7 |
1/7 |
0 |
6/7 |
0 |
0 |
1300 |
780/7 |
|
Оптимальный план можно записать так: x3 = 184/7 F(X) = 6*184/7 = 1113/7
1113/7 -30*3=21,4285
Ответ: не целесообразно закупить дополнительно 30 единиц первого ресурса по цене р1=3 у.е.