«Практика геометрии»

«Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220) содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

«Цветок»

В трактате «Цветок» (Flos, 1225) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение x3 + 2x2 + 10x = 20, предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1;22,07,42,33,04,40, не указывая, однако, способа своего решения.

«Книга квадратов»

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. В одной из задач, также предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа.

С представлением "средневековье" в нашем сознании ассоциируется разгул инквизиции, костры, на каковых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за "телом господним". Наука в те поры явно не была приоритетом. В этих условиях появление книги по математике "Liber abaci" ("Книга об абаке"), написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Пизано Фибоначчи, стало важным событием в научной жизни общества.

Заслуги и достижения Леонардо Фибоначчи

Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги-энциклопедии, в которой насчитывалось целых пятнадцать глав? Оказывается, в ней рассматривался весьма обширный круг вопросов:

индусская система нумерации;

правила действий над целыми числами;

дроби и смешанные числа;

разложение чисел на простые множители;

признаки делимости;

учение об иррациональных величинах;

способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;

свойства пропорции;

арифметическая и геометрическая прогрессии;

линейные уравнения и их системы.

Мы остановимся на одной из самых интересных работ Фибоначчи - Числа Фибоначчи (Последовательность Фибоначчи).

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи  или Последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, обладающая рядом свойств.

Но как же Леонардо Фибоначчи вывел свою последовательность? Причиной тому служит одна из задач «Книги об абаке». Она гласит: «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». Леонардо Фибоначчи решил эту задачу так.

Он рассматривал развитие идеализированной (т.е. биологически нереальной) популяции кроликов, учитывая то, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает. Итак:

• Имеется пара кроликов (1 новая пара).

• В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).

• Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары, и первая пара погибает (2 новые пары).

• В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары) и т.д.

Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел: (на экране).

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Но как оказалось, эта последовательность обладает рядом замечательных свойств.

  

Свойства последовательности Фибоначчи 

 1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличению порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618).

13:21=0,619…

21:34=0,618…

2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

55:144=0,382…

144:55=2,618…

3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

 

О связи последовательности Фибоначчи и Золотого сечения 

Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то  осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все  сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу.

Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций и  для порождения золотого сечения  пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.                                                                                 

        Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи. Может быть восемь в одном направлении и 13 в другом, или 13 в одном и 21 в другом 3.

  В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Последовательность Фибоначчи и пропорции золотого сечения в разных сферах жизни

  Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

 Пpиводимые ниже примеры показывают присутствие этой математической последовательности в разных сферах жизни и еще раз доказывают связь с Золотым сечением.