1.2.4 Толқымалы үтірі бар математика негізіндегі псевдохаос

Толқымалы үтірі бар математика қазіргі ЭЕМ-дердегі үздіксіз жүйелердегі модельдеудің ең қарапайым жолы болып табылады. Толқымалы үтірі бар санды көрсету нақты сандарды биттік жолда қандай да бір шекті дәлдікпен сақтауға мүмкіндік береді.

х нақты саны b_mb_m-1…b₁. a₁a₂…a_s екілік санау жүйесіндегі көрсетілімде ондық санау жүйесінің шексіз бөлшегі түрінде жазылуы мүмкін, мұндағы a_i, b_j – биттер, b_mb_m-1…b₁ – бүтін бөлігіне сәйкес келеді, a₁a₂…a_s – бөлшек бөлігіне сәйкес келеді.

Шекті дәлдікпен есептеулерде x_n+1= f(x) итерациялық функцияның орнына мынаны қолдануға болады:

мұндағы k≤s және round_k(x) жуықтау функциясы мына түрде:

Жуықтау қателігі әр итерацияда күшейе береді. Үздіксіз жүйенің траекториясы дәл аналитикалық шешімнің арқасында алынған.

Үздіксіз динамикалық жүйелерді модельдеудің келесі келелі мәселесі жуықтау қателігінің жиналуы. round_k(x) функциясы әр итерацияда қолданылады, сондықтан жүйенің алғашқы шарттарға сезгіштігінен қателік жиналады да, күшейе түседі. Берілген және аппроксимацияланған жүйелердің траекториялары жылдам шарықтап кетеді [14]. Мысалға, сурет 7-де берілген және аппроксимацияланған жүйелердің уақыттық қатарлары көрсетілген. Лоренц айтып кеткендей: «...өткен шақтағы аз ғана қателік болашақтағы орасан зор қателікке алып келеді. Болжау мүмкін болмай шығады...». Сонымен, толқымалы нүктесі бар математика жүйесі үздіксіз хаостық жүйенің дәл жақындатылуы болып табылмайды.

Дұрыс емес асимтотикалық әрекеттен басқа аппроксимацияланған жүйелер басқа да «қауіпті» қасиеттерді траекторияның басында-ақ шығаруы мүмкін. Орбитаның ұзындығы болжамсыз қысқа болып, оңай табылатын паттерн құруы мүмкін, ал бұл криптографияда орынсыз жағдай екені белгілі. Сурет 6(a) толқымалы үтірі бар математиканың типтік орбиталары шартты түрде көрсетілген. Жуықтау нәтижесінде траектория хаостық аттрактордан қайта оралмастай шығып, қандай да бір стационар күйге енуі мүмкін. Солай, көптеген классикалық жүйелерде жүйенің күйін анықтайтын айнымалылар нөлге шексіз жақын, бірақ тең емес мәндерге ие болуы мүмкін; ал нөлге дейін жуықтаған жағдайда хаостық әрекет тоқтайды. Сурет 8-де әр түрлі есептеу дәлдіктерінде сандық модельдеудің нәтижелері көрсетілген. Орбитаның орташа ұзындығы болжамсыз, ал минималдысы есептеу дәлдігінің жоғары деңгейінде де аз екенін көруге болады.

Әр түрлі платформалардың (аппараттық және программалық) математикалық функциялары есептеудің әр түрлі алгоритмдерін қолдануы және аралық нәтижелерді әр түрлі дәлдікпен сақтауы толқымалы үтірі бар математика аппроксимациясының келесі келелі мәселесі болып табылады. Хаостық генераторлар дәлдікке өте сезгіш болғандықтан, әр түрлі платформаларда орындалған хаостық шифрлеу алгоритмдері орынсыз болуы өте ықтимал.

Сурет 7- 64 биттік дәлдікпен үздіксіз жүйенің траекториясы (логикалық парабола) және аппроксимацияланған жүйенің траекториясы

Сурет 8- Логистикалық жүйелердегі b есептеу дәлдігіне (биттерге) тәуелді орбиталардың минималды және орташа ұзындықтары