2.6 Факторы, влияющие на предельное состояние материалов

2.6.1 Анизотропия материалов

У анизотропных материалов, в отличие от изотропных, физические и механические свойства зависят от направления измерения. При этом равенство характеристик прочности в направлении трех взаимно перпендикулярных осей еще не определяет изотропию материала. Необходимо, чтобы это равенство соблюдалось при произвольном повороте этих осей.

При исследовании соотношений между напряжениями и деформациями анизотропных тел необходимо учитывать, что если в изотропном теле девиатор напряжений характеризует ту часть напряженного состояния, которая не чувствительна к изменению объема, то в анизотропных материалах он ее не характеризует, так как изменение объема элемента приводит к появлению не только нормальных, но и касательных напряжений, отсутствующих при объемном сжатии изотропных тел.

Мизес предложил критерий пластичности для анизотропных кристаллических материалов (с одинаковыми пределами текучести на растяжение и сжатие и с анизотропией свойств самого общего вида) в виде однородного полинома второй степени, который содержит 15 констант.

Если оси анизотропии совпадают с главными осями, то согласно Хиллу, критерий Мизеса запишется в виде:

k₁(_x-_y)²+k₂(_y-_z)²+k₃(_z-_x)²+k₄_xy²+k₅_yz²+k₆_xz²=1, (2.6.1.1)

где k₁= ; k₄= ;

k₂= ; k₅= ;

k₃= ; k₆= .

Для двухосного растяжения в направлении осей анизотропии условие текучести имеет вид:

. (2.6.1.2)

Обобщение критерия прочности вида _i=A+B₀+C₀² на анизотропные материалы проведено А.М.Жуковым и В.К.Захаровым. Для плоского напряженного состояния:

_x²+k₁_y²+k₂_x_y+k₃_x+k₄_y+k₅=0.

Выражая коэффициенты через соответствующие пределы прочности, получаем формулу (2.6.1.3):

Аналогичным по структуре является уравнение предельной кривой, предложенное Мариным:

(2.6.1.4)

Для материалов, у которых _xp=_yp=_p и _xc=_yc=_c, критерии (2.6.1.3) и (2.6.1.4) совпадают и могут быть представлены единым выражением:

.

Обобщение критерия энергии формоизменения (_i=const), критерия максимального касательного напряжения (_max=const) и критерия Прагера на анизотропные материалы провели Ху и Марин путем введения в них пределов текучести в соответствующих направлениях. Для плоского напряженного состояния критерий _i=const имеет вид:

. (2.6.1.5)

А.А.Лебедев и Г.С.Писаренко в основу анализа положили линейный критерий (2.5.4.2а). Предельная поверхность анизотропного тела формируется коническими поверхностями, уравнения которых для случая, когда главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями анизотропии, можно представить в виде:

L+D₁_x=1, при _x>_y,_z;

L+D₂_y=1, при _y>_z,_x; (2.6.1.6)

L+D₃_z=1, при _z>_x,_y,

где L= ;

A, B, C, D₁, D₂, D₃ – константы материала.

2A= ; D₁= ;

2B= ; D₂= ;

2C= ; D₃= .

Девиаторные сечения предельной поверхности (2.6.1.6) показаны на рисунке 2.6.1.1.

₂

0

₃ ₁

Рисунок 2.6.1.1 – Девиаторное сечение предельной поверхности

Известно, что при всестороннем сжатии (растяжении) в анизотропном теле появляются касательные напряжения, способствующие разрушению материала. Очевидно, для каждого анизотропного тела существует такое соотношение между главными напряжениями, при котором прочность выше, чем при гидростатическом растяжении. Следовательно, вершина предельной поверхности анизотропного тела может не лежать на биссектрисе пространства напряжений.

Для плоского напряженного состояния из (2.6.1.1) имеем:

, (2.6.1.7)

где ; ;

; ; ;

;

τ_xyk⁺, τ_xyk^- - предельные напряжения сдвига по площадкам, наклоненным под углом 45^º к главным осям анизотропии, соответственно при σ_x >0 и при σ_y >0.

Из выражения для k следует:

, (2.6.1.8)

выражение которое может служить критерием применимости теории для исследуемого материала. И.И.Голденблат и В.А.Копнов в качестве критерия предложили выражение:

,

где П_ik, П_pqnm – тензоры прочности различных рангов.

Если, приняв α=1, β=1/2, γ=1/3 и т.д., ограничиться только линейными и квадратичными членами от компонентов тензора напряжений, то критерий прочности запишется в следующем виде:

. (2.6.1.9)

Если ограничится плосконапряженным состоянием, то i, k, p, q, r, s будут принимать значения 1 и 2. Тензоры прочности П_ik, П_pqrs можно выразить через пределы прочности на растяжение и сжатие в первом и втором основных направлениях, пределы прочности на сдвиг в основном направлении τ₀ и пределы прочности на сдвиг по площадкам, равнонаклоненным к основным направлениям τ_xyk⁺, τ_xyk^-.

Так, для случая линейного растяжения и сжатия в первом основном направлении, необходимо положить σ_ik=σ₁₁=σ_xp для растяжения и σ_ik=σ₁₁=-σ_xc для сжатия. Тогда:

;

.

Отсюда:

; .

Аналогично получаем другие коэффициенты:

; ;

П₁₂=0; П₁₂₁₂= ;

П₁₁₂₂= .

Значения П₁₁₁₂ и П₂₂₂₁ определяются экспериментально, например, при комбинированном нагружении образцов растяжением и сдвигом. Остальные компоненты тензоров прочности находятся из условия симметрии:

П_ik=П_ki; П_pqrs=П_qprs; П_pqrs=П_pqsr; П_pqrs=П_rspq.

Зная компоненты тензоров прочности, можно найти пределы прочности для любого направления:

;

;

α₁₁=α₂₂=cosφ, α₁₂=sinφ, α₂₁=-sinφ.

Так:

.

Из выражения (2.6.1.9) следует соотношение между константами материала

,

которое полностью совпадает с соотношением (2.6.1.8).

А.К.Малмейстером рассмотрен критерий прочности анизотропных материалов в виде:

. (2.6.1.10)

Здесь П_ik, П_ikmn и т.д. – тензоры прочности четвертого ранга. Если главные оси совпадают с главными осями анизотропии, то для случая двухосного напряженного состояния критерий (2.6.1.10) имеет вид:

(2.6.1.11)

Е.К.Ашкенази предложен критерий прочности для существенно анизотропных материалов в виде полинома четвертой степени.