2.5.4 Обобщенные критерии прочности

2.5.4.1 Критерий Лебедева-Писаренко

Систематизация опубликованных результатов механических испытаний различных материалов при сложном напряженном состоянии показывает, что большинство различных квазихрупких материалов занимает промежуточное положение между пластичными, предельное состояние которых удовлетворительно описывается условием Кулона (2.4.5) или Мизеса (2.4.6), и хрупкими, для которых сравнительно небольшие отклонения дает критерий максимального нормального напряжения.

Физическая картина разрушения реальных материалов очень сложна. Весьма важна роль пластических деформаций. Способность к пластической деформации существенно зависит от условий нагружения, определяемых видом напряженного состояния, температурой, скоростью деформирования и др. Еще Прандтль указывал, что следует различать два типа разрушения: хрупкое (отрывом) и вязкое (сдвигом). Однако, последние достижения в области физики твердого тела показывают, например, что разрушение только от нормальных напряжений или только от касательных невозможно. Наступление предельного состояния обусловлено способностью материала оказывать сопротивление касательным и нормальным напряжениям и, следовательно, определяться двумя причинами: возникновением трещин (некоторой функцией касательных напряжений ) и их распространением (максимальным нормальным растягивающим напряжением ₁, как наибольшим из трех). Условие, определяющее предельное состояние материала, может быть записано в виде:

F(; ₁; m_i)=0, (2.5.4.1)

где m_i – константы материала.

Роль касательных напряжений, очевидно, тем меньше, чем ближе состояние материала к идеально-хрупкому, и, наоборот, для материала, находящегося в пластическом состоянии, в качестве эквивалентных напряжений могут быть приняты функции только касательных напряжений, так как текучесть сама по себе, без разрушения, может оказаться опасной.

Рассмотрим зависимость (2.5.4.1) в виде:

_i^a+m_i₁^b=m₂,

где за функцию касательных напряжений принята интенсивность напряжений, a, b – константы.

Выразив m₁ и m₂ через _р и _с, получим:

_i^a+(_c^a-_p^a)₁^b/₁^b=_c^a. (2.5.4.2)

Чтобы поверхность была выпуклой, a2 и b2. Тогда

a=b=1; _i+(1-)₁=_р; (2.5.4.2.a)

a=2, b=1; ²_i²+(1-²)₁_р=_р²; (2.5.4.2.б)

a=2, b=2; ²_i²+(1-²)₁²_р², (2.5.4.2.в)

где =_p/_c можно определить как величину, характеризующую степень участия в макроразрушении сдвиговой деформации, создающей благоприятные условия для разрыхления материала и образования трещин. При =1 уравнение (2.5.4.2) преобразуется в энергетическую теорию, при =0 – в первую теорию.

Предельные поверхности, интерпретирующие в пространстве напряжений границу прочных напряженных состояний в соответствии с выражениями (2.5.4.2), находятся в области между цилиндром Мизеса-Генки и параллелепипедом, соответствующим первой теории прочности. Критерии (2.5.4.2), полученные на основании достаточно ясных физических предпосылок, должны соответствовать результатам анализа общих свойств предельных поверхностей, приведенных в [1].

Для многих материалов сечение предельной поверхности плоскостью, проходящей через гидростатическую ось, с достаточной точностью может быть аппроксимировано прямой. Поэтому особый интерес представляют предельные поверхности, которые формируются конусами. В этом случае девиаторные сечения образованы кривыми второго порядка: эллипсами, параболами или гиперболами, если оси конусов пересекаются с гидростатической осью, и окружностями, если оси конусов параллельны указанному лучу.

Общее уравнение конических сечений при пересекающихся осях формирующих конусов в полярных координатах имеет вид:

=P/(1-e×cos), (2.5.4.3)

где P – фокальный параметр;

e – эксцентриситет.

Если рассматриваемая кривая интерпретирует девиаторное сечение предельной поверхности, то радиус-вектор  имеет смысл октаэдрического касательного напряжения. Параметр P, определяющий размеры сечения, является линейной функцией шарового тензора, так как предельная поверхность формируется конусами:

P=m₁+m₂_окт.

Тогда уравнение (2.5.4.3) запишется в виде:

_окт(1-e×cos)=m₁+m₂_окт, (2.5.4.4)

где e – характеризует величину приращения _окт при соответствующем изменении вида девиатора.

Из анализа параметров пространства напряжений следует:

e= , сos =(3-_)/[2 ].

При этом уравнение (2.5.4.4) имеет вид:

.

Переходя к интенсивности напряжений и учитывая, что выражение в скобках равно максимальному нормальному напряжению (при совместном решении выражений для _окт и _), имеем:

_i+m₂¹₁ =m₁¹.

Выразив m₁¹ и m₂¹ через _р и _с, получаем уравнение, тождественно совпадающее с уравнением (2.5.4.2.а):

_i+(1-)₁=_р.

Критерий (2.5.4.2.б) и (2.5.4.2.в) можно получить, если предположить, что предельные поверхности формируются параболоидами вращения и эллипсоидами соответственно. На рисунках 2.5.4.1 и 2.5.4.2 представлен вид критериев (2.5.4.2) в девиаторной плоскости и при плоском напряженном состоянии.

(2.5.4.2.а)

(2.5.4.2.а)

Рисунок 2.5.4.1 – Предельная кривая в Рисунок 2.5.4.2 - Предельная кривая

девиаторной плоскости при плоском напряженном состоянии

Каждое из уравнений (2.5.4.2) определяет в пространстве напряжений три поверхности, которые, пересекаясь, образуют замкнутую фигуру, интерпретирующую в координатах ₁, ₂, ₃ заданное условие прочности. Например, предельная поверхность, соответствующая условию (2.5.4.2.а), представляет собой фигуру, в которую вписана шестигранная пирамида, интерпретирующая критерий Кулона-Мора. Обработка результатов испытаний широкого круга материалов, не имеющих существенного нарушения структуры, подтвердила высокую достоверность критериев (2.5.4.2).

2. Мором рассматривалось шесть условий вида:

(₁-₃)²+(_с-_р)(₁-₂)=_р_с, (2.5.4.5)

каждое из которых является уравнением цилиндра. Линии пересечения этих цилиндров – параболы, сходящиеся в точке с координатами:

₁=₂=₃=_р_с/2(_р+_с).

В девиаторной плоскости условие Мора соответствует криволинейному шестиугольнику.

2. К рациональной форме предельной поверхности чисто феноменологически пришли Г.А.Гениев и В.Н.Киссюк, включившие в общее условие прочности третий инвариант девиатора напряжений:

J₃=-[3(₁²₂+₂²₃+₃²₁+₂²₁+₃²₂+₁²₃)-12₁ ₂ ₃-2(³₁+³₂+³₃)]/27.

Уравнение предельной поверхности имеет вид:

После выражения коэффициентов A, B, C через _с, _р, _к получаем:

.

2.5.4.4 И.И.Гольденблат и В.А.Копнов предложили обобщенный критерий прочности, который в общем виде записывается уравнением:

Ф(П₁, П₂, П₃)=0, (2.5.4.7)

где П₁=₁+₂+₃; П₂=₁²+₂²+₃²; П₃=₁³+₂³+₃³.

2.5.4.5 Б.Поль предложил обобщенные пирамидальные поверхности разрушения для изотропных материалов, чувствительных как к промежуточному главному напряжению, так и к гидростатической компоненте тензора напряжений. Предполагая, что кривая разрушения в девиаторной плоскости может быть вогнутой (существуют материалы, не являющиеся устойчиво упрочняющимися в смысле Друккера (см. рисунок 2.5.4.3)), поверхность разрушения аппроксимирована кусочно–линейной поверхностью (см. рисунок 2.5.4.4).

Рисунок 2.5.4.3 – Кривая разрушения Рисунок 2.5.4.4 – Кривая разрушения

в девиаторной плоскости в девиаторной плоскости

Двенадцатиугольник, заштрихованный на рисунке 2.5.4.4, представляет собой сечение кусочно-линейной поверхности разрушения девиаторной плоскостью (плоскостью равного давления). Каждая из двенадцати сторон является линией пересечения плоскости равного давления с наклонной плоскостью, описываемой уравнением вида:

A₁+B₂+C₃=1 (2.5.4.8)

Всего сторон 12. Не все 36 постоянных A, B, C независимы. Из рисунка 2.5.4.4 можно усмотреть, что сечение, фактически, образовано пересечением шестиугольников, каждый из которых полностью определяется одной из шести своих сторон.

Рассмотрим звездообразный шестиугольник с вершинами Р₁¹, Р₂¹, Р₃¹ на положительных полуосях и вершинами Q₁¹, Q₂¹, Q₃¹ на отрицательных полуосях. Здесь верхние индексы относятся к данной плоскости, а нижние – к оси. Пусть P₁¹Q₃¹ – след наклонной плоскости, имеющей уравнение:

A¹₁+B¹₂+C¹₃=1. (2.5.4.9)

Из условий симметрии следует, что наклонные плоскости, соответствующие сторонам «шестиугольника номер один» (шестиугольник, определяемый верхним индексом j, называется «шестиугольник номер j»), определяются уравнениями, приведенными в таблице 2.5.4.1.

Таблица 2.5.4.1 – Уравнения наклонных плоскостей

область	сторона	упорядочение главных напряжений	уравнение	№ уравнения
I	P11Q31	1>2>3	A11+B12+C13=1	2.5.4.9.a
II	P21Q31	2>1>3	A12+B11+C13=1	2.5.4.9.б
III	P21Q11	2>3>1	A12+B13+C11=1	2.5.4.9.в
IV	P31Q11	3>2>1	A13+B12+C11=1	2.5.4.9.г
V	P31Q21	3>1>2	A13+B11+C12=1	2.5.4.9.д
VI	P11Q31	1>3>2	A11+B13+C12=1	2.5.4.9.е

Таким образом, чтобы определить эти шесть сторон сечения, необходимо и достаточно иметь ровно три константы A¹, B¹, C¹.

Аналогичное рассуждение показывает, что необходимо и достаточно иметь три константы A¹, B¹, C¹ для того, чтобы определить шесть граней, проходящих через выпуклый многогранник P₁²Q₃²P₂²Q₁²P₃²Q₂². Если бы сечение имело 6n сторон, то потребовалось бы 3n независимых постоянных вида A^j, B^j, C^j (j=1, 2,…, n). Уравнения всех 6n поверхностей получались бы из таблицы последовательной заменой в верхнем индексе 1 на 2, 3,…, n.

Из уравнения (2.5.4.5) видно, что все шесть плоскостей, проходящих через «шестиугольник номер один», пересекаются в точке:

₁=₂=₃=1/(A¹+B¹+C¹).

Иначе говоря, это семейство плоскостей образует шестигранную пирамиду с вершиной на гидростатической оси. Те же замечания справедливы для каждого из n шестиугольников, образующих сечение кусочно-линейной поверхности разрушения. Таким образом, можно сказать, что обобщенные кусочно-линейные поверхности разрушения могут быть образованы сопряжением семейства шестигранных пирамид. Поэтому и названы «пирамидальными поверхностями разрушения».

Коэффициенты А, B, C связаны с экспериментально определяемыми величинами _с, _р, _к:

A=1/_р; C=-1/_с; A–C=1/_к=1/_р+1/_с.

Через напряжение _v (разрушающее напряжение при однородном трехосном растяжении) определяется коэффициент B. Подставив в уравнение (2.5.4.9.a)

₁=₂=₃=_v, получим:

A+B+С=1/_v.

Тогда B×_с=_с/_v-_с/_p+1=q–m+1, где q=_с/_v, m=_с/_p.

Положим ₃=0, получим шесть соотношений для двухосного напряженного состояния. Соотношения представлены в таблице 2.5.4.2.

Таблица 2.5.4.2 – Соотношения для плоского напряженного состояния

область	уравнение	наклон (S=dσ2/ dσ1)
I	A1+B2=1
II	A2+B1=1
III	A2+C1=1
IV	B2+C1=1
V	B1+C2=1
VI	A1+C12=1

Существует пять характерных форм двухосных кривых разрушения. Они представлены на рисунке 2.5.4.5.

Рисунок 2.5.4.5 – Кривые разрушения на плоскостях напряжений

а – двухосное напряженное состояние;

б – сжатие с обжимом;

в – сечение девиаторной плоскостью;

А: 2m–1<q3m; Б: m<q2m–1;

В: m–1<q<m; Г: 2<q<m–1; Д: qm–2;

1 – гидростатическая ось;

2 – девиаторная плоскость;

3 – критерий Кулона – Мора (q=m–1).

Возможность применимости пирамидального критерия показана для чугуна, магниевых сплавов, грунтов, бетонов, горных пород. Так, для серого чугуна (данные Коффина) критерий имеет вид (рисунок 2.5.4.6), подобный рисунку 2.5.4.5.в.

₂

₁

2 1

2 3

– результат эксперимента;

1 – усечение в области растяжения;

2 – критерий Кулона-Мора;

3 – пирамидальный критерий с m=2,04.

Рисунок 2.5.4.6 – Пирамидальный критерий прочности для серого чугуна

В третьем квадранте коэффициент 0,36. Полагая m=2,04, находим q из пятого уравнения таблицы 2.5.4.2:

q=0,36+2,04–1=1,4.

Тогда наклон пирамидальной кривой разрушения в первом в первом квадранте дается первой строкой таблицы 2.5.4.2:

s=m/(m–q+1)=-5,65.