2.2 Соотношения между напряжениями и деформациями при сложном напряженном состоянии

2.2.1 Линейно-упругое тело

Для упругого линейно-деформируемого тела в каждой его точке компоненты тензора напряжений являются линейными функциями от компонентов тензора деформаций. В общем случае, чтобы выразить соотношения между σ и ε, необходимо знать 21 упругую постоянную. Для изотропного тела, когда связь между σ и ε не зависит от ориентации координатных осей, необходимое число упругих постоянных сократится до двух: модулей упругости первого рода Е и второго рода G:

E/G=2(1+μ),

где μ – коэффициент Пуассона. (2.2.1.1)

Используя принцип независимости действия сил, и предполагая, что главные оси напряжений и деформаций совпадают, обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния записываем в виде:

; γ_xy=τ_xy/G;

; γ_yz=τ_yz/G; (2.2.1.2)

; γ_zx=τ_zx/G.

В главных напряжениях и деформациях:

;

; (2.2.1.3)

или

;

; ` (2.2.1.4)

.

Из последних соотношений имеем:

, (2.2.1.5)

т.е. шаровой тензор напряжений пропорционален шаровому тензору деформаций.

, (2.2.1.6)

кроме того

, (2.2.1.7)

где К–модуль объемной деформации.

Для произвольно ориентированной площадки:

; τ_xy=Gγ_xy;

; τ_yz=Gγ_yz; (2.2.1.8)

; τ_zx=Gγ_zx.

После преобразований:

σ_x-σ_o=2G(ε_x-ε_o); τ_xy=Gγ_xy;

σ_y-σ_o=2G(ε_y-ε_o); τ_yz=Gγ_yz;

σ_z-σ_o=2G(ε_z-ε_o); τ_zx=Gγ_zx,

или

D_σ=2GD_ε. (2.2.1.9)

Отсюда следует важный закон: компоненты девиатора напряжений пропорциональны соответствующим компонентам девиатора деформаций, т.е.

. (2.2.1.10)

Существуют другие записи обобщенного закона Гука:

σ_x=2Gε_x+λθ; σ_y=2Gε_y+λθ; σ_z=2Gε_z+λθ, (2.2.1.11)

где λ – константа Ламе.

σ_окт=3Кε_окт; (2.2.1.12)

σ_i=Eε_i. (2.2.1.13)

Из приведенных соотношений также можно сделать вывод: направления главных удлинений совпадают с направлениями главных напряжений.

2.2.2 Нелинейно-упругие и неупругие тела

В нелинейно-упругом и неупругом теле напряжения и деформации связаны нелинейными зависимостями:

σ_x=f₁(ε_x, ε_y, ε_z);

σ_y=f₂(ε_x, ε_y, ε_z); (2.2.2.1)

σ_z=f₃(ε_x, ε_y, ε_z).

Они сложны, но их упрощение достигается на основе ряда научно обоснованных гипотез.

Шаровой тензор деформаций прямо пропорционален шаровому тензору напряжений:

.

В каждой точке девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформаций:

,

где G΄ зависит от компонентов напряжений и деформаций.

Интенсивность напряжений σ_i является вполне определенной, не зависящей от вида напряженного состояния функцией интенсивности деформаций ε_i:

σ_i=Ф(ε_i)

или

σ_i=Е΄ε_i,

где Е΄ - секущий модуль первого рода.

В координатах τ_окт-γ_окт:

τ_окт=G΄γ_окт,

где G΄ - секущий модуль второго рода.

После преобразований:

.

Если пренебречь изменением объема (ε_о=0 или μ=0,5), то получим нелинейные соотношения:

; ;

; ; (2.2.2.2)

; .

2.2.3 Влияние времени и скорости деформирования

Реальные тела, кроме упругих и пластических свойств, обладают вязкостью.

Поведение различных материалов под нагрузкой можно упрощенно рассмотреть с помощью механических моделей, представленных на рисунках 2.2.3.1 - 2.2.3.5.



Рисунок 2.2.3.1 - Идеально упругое тело – пружина



Рисунок 2.2.3.2 - Идеально вязкая среда – демпфер



Рисунок 2.2.3.3 - Модель Кельвина – Фойхта



модель Максвелла;

Рисунок 2.2.3.4 - Модель Максвелла



Рисунок 2.2.3.5 - Идеально-пластическая среда–пружина + элемент трения

Для модели Кельвина-Фойхта (линейно-упругое тело, обладающее вязкостью):

σ=Еε+λ , (2.2.3.1)

где λ – константа.

Учитывая, что в начальный момент времени (t_o=0) ε_о=0 и , имеем:

(см. рисунок 2.2.3.6). (2.2.3.2)

Рисунок 2.2.3.6 – Изменение деформаций модели Кельвина-Фойхта

Для упруго-вязкого тела при мгновенном приложении нагрузки деформация достигает своего максимума лишь при t= .

Если в момент t=t₁, соответствующий деформации ,

нагрузка снята, то дальнейшая деформация протекает по закону

, (2.2.3.3)

т.е. при .

Рассматриваемое явление «запаздывания» упругих свойств называется упругим последействием, а Т=λ/Е - периодом последействия.

Для обобщенной линейной модели упруго-вязкого тела (рисунок 2.2.3.7)

σ+n =Eε+Bn , (2.2.3.4)

где , .



Рисунок 2.2.3.7 - Обобщенная линейная модель упруго-вязкого тела

При малых скоростях нагружения σ=Еε, т.к. значениями остальных величин, входящих в уравнение 2.2.3.4, можно пренебречь. Здесь Е – длительный модуль упругости.

При внезапном приложении нагрузки (больших скоростях нагружения)

n =Bn или σ=Вε,

где В – мгновенный модуль упругости.

На рисунке 2.2.3.8 представлены соотношения при разных скоростях нагружения.

tgα=E

tgβ=B



Рисунок 2.2.3.8 – Соотношения σ и ε при разных скоростях нагружения

При σ=V_σt, где V_σ - постоянная скорость нагружения, имеем:

. (2.2.3.5)

При ε=0, t=0

. (2.2.3.6)

При ε=V_εt, где V_ε – постоянная скорость деформирования, имеем:

. (2.2.3.7)

Если V_ε или (малые скорости), то σ=Eε (линия 1 на рисунке 2.2.3.8).

Если V_ε и (большие скорости), то σ=Bε (линия 3 на рисунке 2.2.3.8).

Если тело подвергнуть мгновенному нагружению до σ_o и полученную деформацию сохранить неизменной во времени ( =0), то

;

(см. рисунок 2.2.3.9). (2.2.3.8)

Рисунок 2.2.3.9 – Кривая релаксации напряжений

Напряжения в элементе, длина которого сохраняется постоянной, с течением времени уменьшаются. Это явление называется релаксацией. Постоянную n называют временем релаксации.

Теперь в теле, подвергнутом мгновенному нагружению до деформации, сохраним неизменным во времени напряжение σ_o=Bε_o ( =0):

;

(см. рисунок 2.2.3.10). (2.2.3.9)

Рисунок 2.2.3.10 - Кривая ползучести

С течением времени деформация увеличивается. Это явление называется ползучестью. Если в момент t=t₁ нагрузка снята, то элемент мгновенно укорачивается на ε_o=σ_o/B, дальнейшее уменьшение деформации происходит по закону

(обратная ползучесть).

Для объемного напряженного состояния:

(σ_x-σ_o)+n( _x- _o)=2G(ε_x-ε_o)+2Hn( _x- _o);

(σ_y-σ_o)+n( _y- _o)=2G(ε_y-ε_o)+2Hn( _y- _o);

(σ_z-σ_o)+n( _z- _o)=2G(ε_z-ε_o)+2Hn( _z- _o);

τ_xy+n _xy=Gγ_xy+Hn _xy; (2.2.3.10)

τ_yz+n _yz=Gγ_yz+Hn _yz;

τ_zx+n _zx=Gγ_zx+Hn _zx;

σ_o=3Kε_o,

где n=η/G.