2.1.2 Параметры напряженно-деформируемого состояния материала

Напряженно-деформированное состояние материала в данной точке тела, подверженного тем или иным воздействиям (например, механическим и температурным) полностью определено, если заданы тензоры напряжений и деформаций в этой точке:

Т=

x xy xz yx y yz zx zy z

; Т=

x ½xy ½xz ½yx y ½yz ½zx ½zy z

. (2.1.2.1)

Если напряженно-деформированное состояние тела неоднородно, то компоненты тензора напряжений и тензора деформаций являются функциями координат точек.

В силу закона взаимности, или парности, касательных напряжений для полного определения напряженного состояния в рассматриваемой точке достаточно знать шесть компонентов тензора напряжений:

_х; _y; _z; _xy=_yx; _yz=_zy; _zx=_xz.

Напряженно-деформированное состояние в точке можно описать тремя главными нормальными напряжениями: ₁, ₂, ₃, действующими в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через эту точку, и тремя главными деформациями: ₁, ₂, ₃. Если деформированное тело изотропно, то направления главных деформаций совпадают с направлениями соответствующих главных напряжений. При определенных условиях деформирования, например при сложном нагружении, сопровождающемся изменением соотношения компонентов тензора напряжений, это правило может нарушаться.

Связь между главными напряжениями в точке и напряжениями на произвольно ориентированной площадке, проходящей через эту точку, описывается уравнением:

³-J₁²+J₂ -J₃=0, (2.1.2.2)

где

J₁=_х+_y+_z=₁+₂+₃;

J₂=_х_y+_y_z+_z-_xy²-_yz²-_xz²=₁₂+₂₃+₃₁; (2.1.2.3)

J₃=_х_y_z+2_xy_yz_xz-_х_yz²-_y_xz²-_z_yx²=₁₂₃.

Главные нормальные напряжения находятся как корни этих уравнений. Поскольку главные напряжения не изменяются при повороте координатных осей, т.е. не зависят от метода их нахождения, коэффициенты уравнения (2.1.2.2) J₁, J₂, J₃ также не зависят от выбора координатной системы; иными словами, они являются инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. Существуют и другие комбинации компонентов тензора напряжений, инвариантные к повороту координатных осей. Однако все они могут быть представлены как функции трех приведенных выше инвариантов.

Общий случай напряженного состояния в точке можно рассматривать как напряженное состояние с компонентами напряжений, связанными только с изменением формы, на которое «наложено» гидростатическое растяжение-сжатие. Это позволяет представлять тензор напряжений в виде суммы двух составляющих:

Т_=Т_⁰+D_,

где Т_⁰ – шаровой тензор напряжений, составленный из компонентов, связанных с изменением объема; D_ – девиатор напряжений, составленный из компонентов, связанных с изменением формы.

Т0=

0 0 0 0 0 0 0 0 0

; D=

x-0 xy xz yx y-0 yz zx zy z-0

.

Первый инвариант шарового тензора совпадает с первым инвариантом тензора напряжений:

J₁⁰=3₀=_x+_y+_z=J₁. (2.1.2.4)

Первый инвариант девиатора напряжений равен нулю:

J₁́=(_x-₀)+(_y-₀)+(_z-₀)=0.

Второй инвариант девиатора напряжений находится по формуле:

J₂́=1/6[(_x-_y)²+(_y-_z)²+(_z-_x)²+6(_xy²+_yz²+_zx²)]=

=1/6[(₁-₂)²+(₂-₃)²+(₃-₁)²]=1/3(₁²+₂²+₃²-₁₂-₂₃-₁₃). (2.1.2.5)

Теория деформированного состояния подобна теории напряженного состояния. Главные относительные удлинения (деформации) ₁>₂>₃ находятся как корни кубического уравнения относительно :

³-₁²+₂-₃=0,

где ₁, ₂, ₃ – соответственно первый, второй и третий инварианты тензора деформаций.

₁=_x+_y+_z=₁+₂+₃;

₂=_x_y+_y_z+_z_x-¼(_xy²+_yz²+_zx²)=₁₂+₂₃+₃₁;

₃=_x_y _z+¼(_xy_yz_zx-_x_yz²-_y_zx²-_z_xy²)=₁₂₃.

Тензор деформаций разлагается на шаровой тензор деформаций и девиатор деформаций:

T_=T_⁰+D_.

С помощью девиатора деформаций оценивается степень отклонения данного деформированного состояния, которое описывается тензором деформаций, от гидростатического растяжения-сжатия при главных деформациях, равных среднему арифметическому линейных деформаций исследуемого деформированного состояния.

Таким образом, если деформированное состояние тела описывается шаровым тензором деформаций, форма тела не изменяется. Если деформированное состояние описывается девиатором деформаций, то не изменяется объем тела.

Из условий равновесия элементарного тетраэдра, направления нормалей к боковым граням которого совпадают с направлениями главных осей, а нормаль к наклонной площадке образует с координатными осями углы , , , следует:

Cos=_x/₁; Cos=_y/₂; Cos=_z/₃.

Возводя в квадрат и складывая, получаем уравнение эллипсоида Ламе:

,

на поверхности которого лежат концы векторов полных напряжений для площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Его осями являются главные нормальные напряжения. Касательные напряжения достигают экстремума на трех парах площадок. Экстремальные значения касательных напряжений:

; ; .

Они называются главными касательными напряжениями. Площадка, равнонаклоненная к главным осям (==), называется октаэдрической. Нормальные напряжения на этой площадке равны среднему арифметическому трех главных нормальных напряжений

, (2.1.2.6)

а касательные напряжения – среднему квадратичному трех главных касательных напряжений

,

или

, (2.1.2.7)

или

; (2.1.2.8)

, (2.1.2.9)

или

; .

Октаэдрические нормальные напряжения, равные на всех восьми гранях октаэдра, приводят к изменению его объема:

,

где _окт – октаэдрическое нормальное удлинение;

.

Октаэдрическая деформация сдвига:

.

При решении ряда задач механики материалов удобно пользоваться обобщенными напряжениями и деформациями или их еще называют интенсивность напряжений и интенсивность деформаций:

; (2.1.2.10)

. (2.1.2.11)

Так как _i и _i являются квадратичными функциями характеристик напряженного состояния, то иногда вместо _i и _i вводят линейные функции:

;

.

Для уменьшения ошибок можно ввести корректировочный коэффициент, учитывающий вид напряженного состояния:

;

.

Таким образом,

; ,

где параметры:

; (2.1.2.12)

называются параметрами Лоде-Надаи или параметрами вида девиатора. Значения _ и _ могут изменяться от -1 до +1, тогда:

; .

Средние значения отношений:

;

отличаются от пределов измерения примерно на 7%. Следовательно, любое напряженно-деформированное состояние в точке может быть определено компонентами тензора напряжений и тензора деформаций или совокупностью их производных: σ_о, σ_i, μ_σ и ε_о, ε_i, μ_ε.

Параметры, характеризующие напряженно-деформированное состояние, имеют определенную геометрическую интерпретацию соответственно в трехмерных пространствах σ₁, σ₂, σ₃ и ε₁, ε₂, ε₃.

Рассмотрим пространство напряжений. Путь нагружения в этом пространстве (рисунок 2.1.2.1) представим отрезком ОМ_i, который является совокупностью последовательных положений точки М при нагружении.

М_i(___

x

y

z

_

_

Z

_

Y

Q_i

Q

__

arctg√3

r

X



Рисунок 2.1.2.1 – Путь нагружения в пространстве напряжений

При некоторых критических значениях главных напряжений наступает предельное состояние материала.

Точка Q_i лежит на предельной поверхности Q. Если ОМ отрезок прямой, то нагружение происходит при пропорциональном возрастании напряжений. Такое нагружение называется простым. Если точка М равноудалена от осей, то ₁=₂=₃, а напряженное состояние, характеризуемое координатами этой точки, называется гидростатическим растяжением (₁,₂,₃>0) или гидростатическим сжатием (₁,₂,₃<0).

В системе Oxyz, ось Оx которой совпадает с диагональю пространства напряжений, координатами точки М являются:

;

;

.

В цилиндрической системе (x, r, α):

;

;

или

; ; .

Следовательно, параметры напряженного состояния ₀, _i, _ коррелируют с координатами цилиндрической системы (x, r, α). Удобная графическая интерпретация параметров ₀, _i , _ предложена Розенбергом и Смирновым – Аляевым. На луче Oх (рис. 2.1.2.2) откладываются отрезки ОА, ОВ и ОД, численно равные ₁, ₂ и ₃.

На отрезке АВ, как на основании, строится равносторонний треугольник АВС с высотой CN. Тогда CD=_{i , .}

Рисунок 2.1.2.2 – Графическая интерпретация параметров напряженного состояния