§ 2. Основные свойства вероятности
2.1. Аксиоматические свойства
Определение 2.1. Если P(A)=1, но A не равно Ω , то говорят, что событие A в опыте Gпроисходит почти наверное (п.н.).
Определение 2.2. Если P(A)=0, то говорят, что событие A почти никогда не происходит в опыте G.
Свойства P(A).
Пусть P(A)=1. По аксиоме A2 P(Ω)=1, но из этого не следует, что A=Ω (т.е. что A является достоверным событием).
P(∅)=0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю. Во-первых, ∅∈F, поскольку σ-алгебре F принадлежит само событие Ω и его дополнение Ω¯¯¯=ΔΩ\Ω=∅. Во-вторых, Ω+∅=Ω. Поэтому, с одной стороны, по аксиоме A2 получаем P(Ω+∅)=P(Ω)=1, с другой стороны, по аксиомам A3 и A2 имеем P(Ω+∅)=P(Ω)+P(∅)=1+P(∅). Отсюда следует, что P(∅)=0.
Пусть P(A)=0 По свойству 2)P имеем P(∅)=0, но из этого не следует, что A=∅, т.е. событие A не обязательно является невозможным.
Если A⊂B, то P(A)≤P(B), т.е. вероятность монотонна. Представим множество B как B=A+B\A (рис. 2.1). По построению A(B\A)=∅, следовательно, события A и B\Aнесовместны. Поэтому по аксиомам A3 и A1 имеем P(B)=P(A)+P(B\A)≥P(A).
P(A)≤1 для любого A∈F. Так как A⊂Ω, то из свойства 4)P и аксиомы A2 следует P(A)≤P(Ω)=1.
Рис. 2.1 |
|
Рис. 2.2 |
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) для любых A,B∈F. Представим A в виде A=A\B+AB.Очевидно, что (A\B)(AB)=∅. Тогда по аксиоме A3 имеемP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), откуда
P(A\B)=P(A)-P(AB).
Аналогичным образом поступим с событием A+B (рис. 2.2) . Имеем A+B=B+A\B, причем P(A\B)=∅. Тогда из аксиомы A3 следует
P(A+B)=P(B)+P(A\B).
Подставляя в данное выражение формулу для P(A\B), получаем требуемое.
P(A+B)≤P(A)+P(B) для любых A,B∈F. Из аксиомы A1 следует P(AB)≥0,поэтому по свойству 6)P получаем
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)≤P(A)+P(B)
По индукции можно получить неравенство для произвольных событий A1,…,An∈F
P(∑i=1nAi)≤∑i=1nP(Ai).
На основе аксиомы A3 по индукции можно показать, что если события A1,…,An попарно несовместны, то
P(∑i=1nAi)=∑i=1nP(Ai).
Пусть события A и B несовместны, т.е. AB=∅ . Тогда верно P(C(A+B))=P(CA)+P(CB). По предположению имеем (CA)(CB)=∅, так как AB=∅ . И, кроме того, по свойству событий 10)A имеем C(A+B)=CA+CB. Следовательно, по аксиомеA3 получаем
P(C(A+B))=P(CA)+P(CB).
§ 2. Основные свойства вероятности
2.2. Свойства вероятности для полной группы событий
Определение 2.3. События H1,…,Hn в опыте G образуют полную группу несовместных событий, если они попарно несовместны ( HiHj=∅ при i≠j ) и в результате опыта произойдет хотя бы одно из событий Hi,i=1,n¯¯¯¯¯, т.е. H1+…+Hn=Ω. События H1,…,Hnназываются гипотезами, если они образуют полную группу несовместных событий и P(Hi)>0,i=1,n¯¯¯¯¯.
Определение 2.4. Рассмотрим опыт G с конечным числом возможных исходов Ω={ω1,…,ωn}, где ωi - элементарные события, образующие полную группу несовместных событий, появление которых равновероятно, т.е. P(ωi)=p,i=1,n¯¯¯¯¯. Такие события ω1,…,ωnназываются случаями, а про опыт G говорят, что он сводится к схеме случаев.
Определение 2.5. Рассмотрим в опыте G, сводящемся к схеме случаев, произвольное событие A, которое можно представить в виде суммы m случаев, т.е. A=ωi1+…+ωim при m≤n.Тогда такие слагаемые ωi1,…,ωim называют случаями, благоприятствующими событию A (илиблагоприятными случаями).
Определение 2.6. Условной вероятностью P(A|B) событияA относительно события B,если P(B)>0, называется вероятность осуществления события A при условии, что событие Bуже произошло. Условная вероятность определяется формулой P(A|B)=ΔP(AB)P(B) .
Свойства P(A) (продолжение)
Если события H1,…,Hn образуют полную группу несовместных событий, то
P(H1)+…+P(Hn)=P(H1+…+Hn)=1
Данное свойство непосредственно вытекает из определения определения 2.3, аксиомы A2 исвойства 8)P.
P(A)=1−P(A¯¯¯). По определению A¯¯¯=Ω\A, поэтому A¯¯¯A=∅. По свойству 12)A имеемA+A¯¯¯=Ω, т.е. события A и A¯¯¯ образуют полную группу несовместных событий. Следовательно, по свойству 10)P : P(A+A¯¯¯)=1. Так как A и A¯¯¯ несовместны, то по аксиомеA3 имеем: 1=P(A+A¯¯¯)=P(A)+P(A)¯¯¯¯, откуда следует искомая формула.
P(A+B)=1−P(A¯¯¯⋅B¯¯¯). По свойству 11)A имеем A+B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯⋅B¯¯¯. Поэтому изсвойства 11)P следует P(A+B)=1−P(A+B¯¯¯¯¯¯¯¯¯)=1−P(A¯¯¯⋅B¯¯¯).
P(AB)=1−P(A¯¯¯+B¯¯¯). Это следует из свойства 12)P, если вместо событий A и Bрассмотреть соответственно события A¯¯¯ и B¯¯¯ и использовать свойство событий 12)A: A¯¯¯¯¯¯=A.
Если опыт G сводится к схеме случаев, то P(ωi)=p=1/n,i=1,n¯¯¯¯¯. Действительно, так как события ω1,…,ωn несовместны, то по аксиоме A2 и свойству вероятности 8)PP имеем
1=P(Ω)=P(ω1+…+ωn)=P(ω1)+…+P(ωn)=np
Если событие A представимо в виде суммы m благоприятных случаев из общего числа n случаев, то вероятность такого события находится по классической формуле вычисления вероятности: P(A)=m/n. Действительно,
P(A)=P(ωi1+…+ωim)=P(ωi1)+…+P(ωim)=mn.
Пример 2.1.
Опыт состоит в подбрасывании игральной кости (см. пример 1.1). Требуется найти вероятность выпадения четного числа очков (события A). В данном случае опыт сводится к схеме случаев, если в качестве элементарных событий ωi,i=1,6¯¯¯¯, взять положения верхней грани кости. Тогдаn=6, а m=3, поскольку A=ω2+ω4+ω6. Таким образом, P(A)=1/2.
Рассмотрим опыт G, сводящийся к схеме случаев, и предположим, что событиям A, B, ABблагоприятствуют соответственно mA, mB>0, mAB случаев из всех n возможных. Допустим, что событие B уже произошло. Это означает, что из всех возможныхn случаев реально могло появиться только mB случаев, причем из них только mAB случаев благоприятствуют событию A.Тогда P(A|B)=mAB/mB. Действительно, получаем
P(A|B)=ΔP(AB)P(B)=mABnnmB=mABmB.
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). Данная формула следует из определения 2.6 и свойства коммутативности операции умножения событий: AB=BA. Действительно,
P(B)P(A|B)=P(AB)=P(BA)=P(A)P(B|A).
Одной из основных формул для подсчета вероятности случайного события является классическая формула, приведенная в свойстве 15)P. В схеме случаев предлагается следующий порядок решения задач с помощью этой формулы.
1) Определить элементарные события, сводя опыт к схеме случаев. в рассматриваемом опыте (либо в виде последовательности элементов, либо в виде их совокупности).
2) Подсчитать количество n всех случаев.
3) Описать событие A, вероятность которого требуется найти.
4) Подсчитать число mA случаев, благоприятствующих событиюA.
5) Воспользоваться классической формулой вычисления вероятности P(A)=mA/n.
Замечание 2.1.
При выделении случаев исходят, как правило, из интуитивных соображений о симметрии исходов и их равновозможности. В данной главе во всех задачах будем рассматривать только такие модели опытов, которые сводятся к схеме случаев. Поэтому выбирамые далее элементарные события будем считать равновероятными.