§ 14. Центральная предельная теорема

14.2. Сходимость частоты

Рассмотрим частоту "успехов" Wn(A)≜M/n   в серии из n   последовательных независимых испытаний в схеме Бернулли. При доказательстве теоремы 13.6 (Бернулли) показано, что частоту успехов можно представить в виде суммы Wn(A)≜Mn=1n∑k=1nXk, где M[Xk]=p,D[Xk]=pq. Тогда по свойствам 1)M[X] и 4)M[X] получаем

M[Wn(A)]=1n∑k=1nM[Xk]=p,D[Wn(A)]=1n2∑k=1nD[Xk]=pqn.

Рассмотрим нормированную частоту успешных испытаний

Wn∗≜Wn−M[Wn]D[Wn]−−−−−√=(Wn−p)npq−−−√=M−pqnpq−−−√.

Так как согласно свойству 2)Bi(n;p) выполняется M[M]=np, D[M]=npq, то Wn∗   можно рассматривать также как нормированное число успешных испытаний. 

Теорема 14.2 (Теорема Муавра-Лапласа). Последовательность {Wn∗},n=1,2,...,нормированных частот "успехов" сходится по распределению к нормальной СВ U∼N(0;1).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Проверим условие Ляпунова. СВ Xk, k=1,2,..., независимы и одинаково распределены, а именно:Xk   принимает значения x0=1, x1=0   с вероятностями P{Xk=1}=p, P{Xk=0}=q,причем M[Xk]=p. Поэтому в данном случае

s2n≜∑k=1nD[Xk]=n2D[Wn]=npq,

и, кроме того,

M[|Xk−M[Xk]|3]=p|x0−M[Xk]|3+q|x1−M[Xk]|3=qp(p2+q2),

поэтому

1s3n∑k=1nM[|Xk−M[Xk]|3]=1(npq)3/2∑k=1nqp(p2+q2)=p2+q2npq−−−√.

Последнее выражение стремится к нулю при n→∞, т.е. условие Ляпунова выполняется. Следовательно, к последовательности {Xn},n=1,2,..., применима ЦПТ, т.е. Zn→FU. Но

Zn≜1sn∑k=1n(Xk−mk)=∥∥∥∥∥s2n=npq,mk=p,∑k=1nXkn=Wn∥∥∥∥∥=(Wn−p)npq−−−√≜Wn*.

■

Замечание 14.3.

 Попутно мы доказали, что к последовательности независимых СВ Xn∼Bi(1;p),n=1,2,...,применима ЦПТ.

В соответствии с теоремой Муавра-Лапласа Wn*→FU, т.е. при больших n   можно считать, чтоWn*≈U. Но Wn*=(Wn−p)n/pq−−−−√, откуда следует, что Wn=pq/n−−−−√Wn*+p. Таким образом, при больших n   в первом приближении можно считать, что частота Wn   является нормально распределенной СВ Wn≈Upq/n−−−−√+p   с параметрами M[Wn]=p   и D[Wn]=pq/n.

Поскольку Wn*=(M−np)/npq−−−√, то M≈Upqn−−−√+np   и можно приближенно считать, что распределение СВ M   является нормальным с M[X]=np   и D[X]=npq.

Таким образом, мы получаем локальную теорему Муавра-Лапласа, в соответствии с которой

P{M=k}≈12πnpq−−−−−√exp{−(k−np)22npq}.

Кроме того, вероятность P{l≤M≤k}   может быть оценена согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа:

P{l≤M≤k}≈Φ0(k−npnpq−−−√)−Φ0(l−npnpq−−−√),

где Φ0(x)−   функция Лапласа.

Напомним, что СВ M   имеет биномиальное распределение, вероятности Pn(k)   для которой сложно вычислять при больших n. Поэтому при больших n   для оценки соответствующих вероятностей удобно пользоваться бокальной (интегральной) теоремой Муавра-Лапласа.

Если n   велико, а p   мало, то в схеме Бернулли можно получить другую приближенную оценку для P{l≤M≤k}. Согласно теореме 6.1 (Пуассона) np≡a>0   биномиальное распределение сходится по распределению при n→∞   к распределению Пуассона, т.е.

P{M=k}=Cknpkqn−k→akk!e−a,

и следовательно,

P{l≤M≤k}≈∑i=1kaii!e−a.

Таким образом, в схеме Бернулли могут быть использованы две аппроксимации.

Пусть СВ X∼Bi(n;p), тогда для вычисления соответствующих вероятностей можно пользоваться аппроксимациями, описанными в следующей таблице:

Таблица 14.1 Приближение Pn(k) ∑i=1kPn(i) Пуассона (np)kk!e−np ∑i=1k(np)ii!e−np Муавра-Лапласа exp{−(k−np)22npq}2πnpq√ Φ0(k−npnpq√)−Φ0(l−npnpq√)

Погрешности этих приближений даны в табл. 14.2.

Таблица 14.2 Приближение Погрешность Пуассона np2 Муавра-Лапласа p2+q2npq√