§ 13. Закон больших чисел

13.3. Типовые задачи

Задача 13.1.

Суточный расход электроэнергии для личных нужд в населенном пункте составляет в среднем 4000 кВт ⋅ ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не превысит 10 000 кВт ⋅ ч.

Решение. Пусть случайная величина X   — расход электроэнергии в течение суток. По условиюM[X]=4000. Поскольку СВ X   неотрицательна и M[X]   конечно, то, применяя неравенство Чебышева для r=1, получаем

P{X>ε}≤P{X≥ε}≤M[X]ε.

Таким образом, P{X>10  000}≤4000/10  000=0,4. Следовательно,P{X≤10  000}=1−P{X>10  000}≥0,6.

Ответ. Оцениваемая вероятность не меньше 0,6.

■

Задача 13.2.

Некоторый период времени на бирже сохранялся относительно стабильный курс валюты. На основании данных биржевой статистики за этот период была составлена следующая таблица возможных значений изменения курса валют:

Таблица 13.1 Возможное изменение курса, % -1 -0,5 0 0,5 1 Вероятность изменения 0,1 0,3 0,5 0,05 0,05

С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что произойдет изменение курса валюты не больше, чем на 0,6%, и сравнить полученную оценку с точным значением вероятности.

Решение. Пусть СВ X   — изменение курса валюты (в процентах). Требуется оценить вероятность: P{|X|<0,6}. Воспользуемся для этого неравенством Чебышева:

P{|X|<0,6}=1−P{|X|≥0,6}≥1−M[X2](0,6)2.

Чтобы вычислить M[X2], построим ряд распределения СВ X2 (см. табл. 13.2).

Таблица 13.2 X2 0 0,25 1 P 0,5 0,35 0,15

Тогда M[X2]=0,25⋅0,35+1⋅0,15=0,2375.

Таким образом, имеем:

P{|X<0,6|}≥1−0,2375(0,6)2≈0,34.

Заметим, что можно вычислить точное значение этой вероятности, так как нам известен ряд распределения СВ X. Действительно,

P{|X|<0,6}=1−P({X=−1}+{X=1})=1−0,1−0,05=0,85.

Отметим, что получаемая с помощью неравенства Чебышева оценка оказывается весьма грубой.

Ответ. Нижняя граница оценки вероятности равна 0,34, а истинное значение вероятности равно 0,85.

■

Задача 13.3.

Задана последовательность независимых СВ X1,X2,...,Xn,..., причем ряд распределения СВXn представлен табл. 13.3. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

Таблица 13.3 Xn −n√ 0 n√ P 1/(2n) 1−1/n 1/(2n)

Решение. Проверим, выполняются ли условия теоремы Чебышева. Для этого найдем дисперсию СВ Xn. Очевидно, что математическое ожидание Xn   равно 0, поэтомуD[Xn]=M[X2n]=(n√)2⋅1/n=1.

Таким образом, дисперсии случайных величин Xn,n=1,2,..., ограничены в совокупности константой c=1. Следовательно, согласно теореме Чебышева, к последовательностиX1,X2,...,Xn,..., применим ЗБЧ.

Ответ. К последовательности X1,X2,...,Xn,..., применим ЗБЧ.

■

Задача 13.4.

Вероятность того, что при опускании одного жетона приемник игрального аппарата сработает правильно, равна 0,95. Найти минимальное число жетонов, при опускании которых в игральный автомат, частота правильной работы автомата была бы заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93. Применить неравенство Чебышева.

Решение. Пусть случайная величина Xi   принимает значение 0, если приемник игрального автомата сработает неправильно при i- том опускании жетона, и 1, если при i- том опускании жетона приемник игрального автомата сработает правильно, i=1,n¯¯¯¯¯. Ряд распределения для такой СВ Xi,при любом i=1,n¯¯¯¯¯, дан в табл. 13.4.

Таблица 13.4 Xi 0 1 P 0,05 0,95

Для распределения Бернулли

M[Xi]=0,95,  D[Xi]=0,05⋅0,95=0,0475.

Обозначим частоту правильной работы игрального автомата Wn. Тогда Wn=1n∑i=1nXi.Считая случайные величины X1,X2,...,Xn   независимыми, получаем

M[Wn]=1n∑i=1nM[Xi]=M[Xi]=0,95,D[Wn]=1n2∑i=1nD[Xi]=1nD[Xi]=0,0475n.

Искомую вероятность можно записать как

P{0,93≤Wn≤0,97}=P{0,93−M[Wn]≤Wn−M[Wn]≤0,97−M[Wn]}=P{|Wn−M[Wn]|≤0,02}.

По неравенству Чебышева получаем

P{|Wn−M[Wn]|>0,02}≤D[Wn](0,02)2=1n0,0475(0,02)2=118,75n.

Следовательно,

P{|Wn−M[Wn]|≤0,02}=1−P{|Wn−M[Wn]|>0,02}=1−118,75n.

Таким образом, искомая вероятность будет не менее 0,93, если будет выполнено неравенство 1−118,75/n≥0,93. Разрешая это неравенство, получим: n≥118,75/0,07=1696,4.

Ответ. Используя неравенство Чебышева, получаем оценку минимального числа жетонов, равную 1697 жетонам.