§ 10. Условные распределения

10.2. Условная плотность распределения

Определение 10.3. Условной плотностью распределения (вероятности) непрерывной СВ X   при условии, что непрерывная СВ Y   с плотностью fY(y)≠0   приняла значение y, называется функция

f(x|y)=f(x,y)fY(y), x∈R1.

Аналогично определяется условная плотность вероятности f(y|x)   СВ Y   при условии, что X=x.Для построения двумерной плотности распределения в общем случае требуется знание не только плотностей распределения одномерных СВ, но еще и условных плотностей, например f(x,y)=fY(y)fX(x|y).

Свойства f(x|y)

1. fX(x|y)≥0, так как f(x,y)≥0, fY(y)>0.

2. FX(x|y)=∫−∞xfX(t|y)dt, если плотности f(x,y), fY(y)   непрерывны. В этом можно убедиться, сравнивая выражения для условной плотности и условной функции распределения, представленной согласно свойству 1)F(x|y).

3. ∫−∞+∞fX(t|y)dt=1   по свойствам 2)f(x|y) и 4)F(x|y).

4. fX(x|y)=∂FX(x∣∣y)∂x, если плотности f(x,y), fY(y)   непрерывны. Действительно, по свойству 1)F(x|y) имеем

∂FX(x|y)∂x=1fY(y)∂∂x⎛⎝⎜∫−∞xf(t,y)dt⎞⎠⎟=f(x,y)fY(y).

5. Если непрерывные СВ X   и Y   независимы, то fX(x|y)=fX(x). Согласно свойству 9)f(x,y)для независимых СВ X   и Y   имеем равенство f(x,y)=fX(x)fY(y), из которого следует по определению условной плотности, что fX(x|y)=fX(x).

6. P{x1≤X≤x2}=∫−∞∞fY(y)⎛⎝⎜∫x1x2fX(x|y)dx⎞⎠⎟dy. Действительно, по свойствам 3)f(x) ,7)f(x,y) и определению условной плотности имеем

P{x1≤X≤x2}=∫x1x2fX(x)dx=∫x1x2⎛⎝⎜∫−∞∞f(x,y)dy⎞⎠⎟dx=

=∫x1x2⎛⎝⎜∫−∞∞fY(y)fX(x|y)dy⎞⎠⎟dx=∫−∞∞fY(y)⎛⎝⎜∫x1x2fX(x|y)dx⎞⎠⎟dy.

Последнее свойство аналогично формуле полной вероятности в случае дискретных СВ X   и Y(см. теорему 3.3):

P{x1≤X≤x2}=∑j=0mP{Y=yj}P{x1≤X≤x2∣∣Y=yj}.

Такие же свойства имеет условная плотность распределения fY(y|x)   СВ Y   при условии, что X=x.

Пример 10.1.

 Пусть имеется СВ Z=col(X,Y), где X   — время появления первого покупателя в понедельник, а Y   — время появления первого покупателя во вторник. Положим, что f(x,y)=e−x−y, x,y≥0. Такая плотность может описывать, например, опыт, состоящий в фиксации времени появления первого покупателя в магазине в первый и второй дни недели (после соответствующей нормировки СВ). Требуется найти:

1) F(x,y);

2) FX(x), FY(y);

3) fX(x), fY(y);

4) FX(x|y), FY(y|x);

5) fX(x|y), fY(y|x).

Установить, зависимы ли СВ X   и Y.

Решение.

1) F(x,y)=∫0y⎛⎝⎜∫0xf(t,τ)dt⎞⎠⎟dτ=∫0ye−τdτ∫0xe−tdt=(1−e−x)(1−e−y)   при x≥0, y≥0; F(x,y)=0   в остальных случаях.

2) FX(x)=F(x,∞)=1−e−x   при x>0, FY(y)=1−e−y   при y>0.

3) fX(x)=dFX(x)dx=e−x   при x>0, fY(y)=dFY(y)dy=e−y   при y>0.

4) FX(x|y)=1fY(y)∫0xf(t,y)dt=ey∫0xe−te−ydt=1−e−x   при x>0. Аналогично, FY(y|x)=1−e−y   при y>0.

5) fX(x|y)=∂∂xFX(x|y)=e−x   при x>0, fY(y|x)=e−y   при y>0. Так как fX(x|y)=fX(x)=e−x   и fY(y|x)=fY(y)=e−y, то f(x,y)=fX(x)fY(y). Поэтому СВ X   и Y   независимы. Это означает, что появление первого покупателя во вторник не зависит от того, когда пришел первый покупатель в понедельник.

§ 10. Условные распределения

10.3. Условное математическое ожидание

Определение 10.4. Условным математическим ожиданием непрерывной СВ X   при условии, что непрерывная СВ Y   приняла значение y, называется число

M[X|y]≜∫−∞+∞xfX(x|y)dx.

Условное МО существует, если последний интеграл сходится абсолютно. Если рассматривать различные y∈R1, то условное МО оказывается функцией y. В случае дискретных СВ X   и Y   условное МО СВ X   при условии, что Y=yj, j=0,m¯¯¯¯¯¯, определяется формулой

M[X∣∣yj]≜∑i=0nxipijpj, j=0,m¯¯¯¯¯¯,

где pij≜P{X=xi,Y=yj}, pj≜P{Y=yj}.

Определение 10.5. Условное математическое ожидание M[X|y]   СВ X   как функция параметра y∈R1   называется регрессией X   на y. График функции x=M[X|y]   называется кривой регрессии X   на y.

Аналогично определяется условное МО СВ V≜ψ(X)   при условии, что Y=y. Например, для непрерывных X   и Y :

M[ψ(X)|y]≜∫−∞+∞ψ(x)fX(x|y)dx.

Рассмотрим функцию ϕ(y)≜M[X|y].

Определение 10.6. Условным математическим ожиданием СВ X   относительно СВ Y   называется СВ V≜ϕ(Y)≜M[X|Y].

Аналогично можно определить и другие, более высокого порядка, условные моменты СВ.

Свойства M(X|y)

1. M[ψ(Y)|y]=ψ(y), где ψ(y)   — некоторая функция.

2. M[ψ(Y)X|y]=ψ(y)M[X|y]. Действительно, например, в случае непрерывных СВ X   и Y   имеем

M[ψ(Y)X|y]=∫−∞+∞ψ(y)xfX(x|y)dx=ψ(y)M[X|y].

3. M[X+ψ(Y)|y]=M[X|y]+ψ(y). Это свойство доказывается аналогично свойству 2)M[X|y].

4. M[X|y]=M[X], если X   и Y   — независимы. Пусть, например, СВ X   и Y   — непрерывны, тогда по свойству 5)f(x|y)

M[X|y]≜∫−∞+∞xfX(x|y)dx=∫−∞+∞xf(x)dx≜M[X].

5. M[X]=M[M[X|Y]]   — это равенство называется формулой полного математического ожидания. Пусть СВ X   и Y   — непрерывны, тогда по свойству 7)f(x,y)

M[X]≜∫−∞+∞xfX(x)dx=∫−∞+∞x⎛⎝⎜∫−∞+∞f(x,y)dy⎞⎠⎟dx=

=∫−∞+∞x⎛⎝⎜∫−∞+∞fY(y)fX(x|y)⎞⎠⎟dx=∫−∞+∞fY(y)⎛⎝⎜∫−∞+∞xfX(x|y)dx⎞⎠⎟dy=

=∫−∞+∞fY(y)M[X|y]dy=M[M[X|Y]].

В случае дискретной СВ Y   с конечным множеством значений формула полного МО приобретает следующий вид:

M[X]=∑j=0mpjM[X∣∣yj],

где pj≜P{Y=yj}, j=0,m¯¯¯¯¯¯.

Пример 10.2.

 Число N   радиотехнических приборов (или бытовой техники), сдаваемых покупателями в гарантийную мастерскую в течении дня, можно представить в виде СВ, хорошо описываемой распределением Пуассона Π(a), где a   является средним числом радиоприборов, сданных за день. Вероятность того, что сданный прибор потребует длительного ремонта, равна p. Найдем среднее число сданных приборов, требующих длительного ремонта. Так как при фиксированном числе n   поступивших приборов количество приборов, требующих капитального ремонта, представляет собой СВ X   с биномиальным распределением Bi(n;p), то M[X|n]=np, n=0,1,2,...   Поскольку СВ X   имеет распределение Пуассона Π(a), то M[N]=a. Тогда по формуле полного МО

M[X]=M[M[X|N]]=M[pN]=pM[N]=pa.