§ 9. Двумерные случайные велчичины

9.1. Функция распределения

Определение 9.1. Двумерным случайным вектором (или двумерной СВ) Z≜col(X,Y)   называется вектор, компонентами которого являются СВ X=X(ω)   и Y=Y(ω), определенные на одном и том же пространстве Ω   элементарных событий ω.

Пример 9.1.

 Скорость ветра в текущий момент времени в конкретной точке на поверхности Земли можно представить в виде двумерной СВ.

Определение 9.2. ФункцияF(x,y)≜P({ω:X(ω)≤x}{ω:Y(ω)≤y})≜P{X≤x, Y≤y}, определенная для всех (x,y)∈R2, называется функцией распределения двумерной СВ Z=col(X,Y).

Пример 9.2.

 Пусть опыт G   состоит в одновременном подбрасывании двух монет. Элементарным событием будем считать положение упавших монет. Пусть СВ X(ω) - число выпавших "гербов", а СВ Y(ω) - расстояние между монетами. В этом случае X(ω) - дискретная СВ со значениями x0=0, x1=1, x2=2, а Y(ω) - непрерывная СВ с реализациями в R1.

Значение функции распределения F(x1,y1)   равно вероятности попадания двумерной СВ (X,Y)   в квадрант D11 с вершиной в точке (x1,y1) и сторонами, параллельными осям координат (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Свойства F(x,y)

1. F(x,y)   определена для всех (x,y)∈R2, так как вероятность P{X≤x, Y≤y}   определена для всех (x,y)∈R2.

2. 0≤F(x,y)≤1   для всех x,y∈R1. По аксиоме А1 и свойству 5)P для любого события A   выполняется 0≤P(A)≤1, поэтому F(x,y)∈[0, 1].

3. F(−∞,y)=F(x,−∞)=F(−∞,−∞)=0   для всех x,y∈R1. Действительно, рассмотрим следующую последовательность событий Bn≜{ω:X(ω)≤−n}, где n=1,2,....По аналогии с доказательством свойства 3)F(x) устанавливаем, что

F(−∞,y)≤limn→∞P(Bn)=P(∅)=0.

4. FY(y)=F(+∞,y),   FX(x)=F(x,+∞)   для всех x, y∈R1, где FX(y)   и FY(x)   — функции распределения СВ X   и Y   соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x) , так как {ω:X(ω)≤+∞}={ω:Y(ω)≤+∞}=Ω.

5. F(+∞,+∞)=1. В силу свойств 4)F(x,y) и 3)F(x) имеем

F(+∞,+∞)=FX(+∞)=1.

6. F(x,y)   — монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Так для Δx>0   имеем

F(x+Δx,y)≜P{X≤x+Δx,Y≤y}=P{X≤x,Y≤y}+P{x<X≤x+Δx,Y≤y}≥F(x,y).

Монотонность F(x,y)   по y   доказывается аналогично.

7. Вероятность попадания СВ Z   в прямоугольник D={x1<x≤x2,y1<y≤y2}   равна

P(D)=F(x2,y2)+F(x1,y1)−F(x1,y2)−F(x2,y1),

где F(xi,yj), i,j=1,2   — вероятности попадания СВ Z   в квадранты Dij с соответствующими вершинами (xi,yj), i,j=1,2  (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Представим квадранты D22   и D12   в виде суммы непересекающихся множеств:

D22=D+D12\D11+D21, D12=D12\D11+D11.

Тогда по формуле сложения вероятностей имеем

P(D22)=P(D)+P(D12\D11)+P(D21),

P(D12)=P(D12\D11)+P(D11).

Вычитая из первого уравнения второе и преобразовывая его, получаем

P(D)=P(D22)+P(D11)−P(D12)−P(D21).

Но P(Dij)=F(xi,yj), i=1,2¯¯¯¯, j=1,2¯¯¯¯. Подставляя данные значения функции распределения F(x,y)   в формулу для P(D)   приходим к требуемому утверждению.

Если функция распределения F(x,y)   непрерывна, то доказанная формула верна и для замкнутого прямоугольника D={x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}.

Определение 9.3. Двумерная СВ Z=col(X,Y)   называется дискретной , если СВ X   и Y   дискретны.

Простейшим способом задания закона распределения дискретной двумерной СВ Z   является таблица распределения (см. табл. 9.1).

Таблица 9.1 X\Y y0 y1 ... yn x0 p00 p01 ... p0m x1 p10 p11 ... p1m ... ... ... ... ... xn pn0 pn1 ... pnm

Здесь pij≜P({X=xi}{Y=yi})=P{X=xi,Y=yj}, i=0,n¯¯¯¯¯, j=0,m¯¯¯¯¯¯, с условием нормировки:∑i=0n∑j=0mpij=1. Функция распределения имеет вид

F(x,y)=∑i=0n∑j=0mpijl(x−xi)l(y−yj),

где l(⋅)   — единичные ступенчатые функции (см. определение 5.6).

Определение 9.4. СВ X   и Y   называются независимыми, если

F(x,y)=FX(x)FY(y)

  для всех x∈R1, y∈R1.

Пусть Z=col(X,Y)   — дискретная СВ, т.е. X   и Y   — одномерные дискретные СВ с реализациями x0,...,xn   и y0,...,ym. Можно показать, что СВ X   и Y   независимы тогда и только тогда, когда для всех i=0,n¯¯¯¯¯, j=0,m¯¯¯¯¯¯

P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}.