§ 5. Основные понятия

5.5. Характеристическая функция

Определение 5.15. Характеристической функцией СВ X называется комплекснозначная функция вида

gX(t)≜M[eitX],

где t∈R1, i2=−1. Если СВ X - непрерывная, то

gX(t)=∫−∞+∞eitxfX(x)dx,

если СВ X - дискретная с конечным числом значений, то

gX(t)=∑k=0npkeitxk.

Аналогично определяется gX(t) для дискретной СВ со счетным числом значений.

Характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье плотности вероятностиfX(x) СВ X. Поэтому обратное преобразование Фурье приводит к соотношению

fX(x)=12π∫−∞+∞e−itxgX(t)dt.

Таким образом, для непрерывной СВ задание gX(t) равносильно заданию fX(x) и наоборот. Для простоты обозначений в дальнейшем будем писать g(t)≜gX(t).

Рассмотрим основные свойства характеристической функции. Для простоты изложения доказательство этих свойств будем проводить только для непрерывных СВ.

Свойства g(t)

1.  |g(t)|≤1 для всех t∈R1. Так как eitx=costx+isintx, то ∣∣eitx∣∣2=cos2tx+sin2tx=1,поэтому |g(t)|≤∫−∞+∞∣∣eitx∣∣f(x)dx=1.

2.  g(0)=1, поскольку eit0=1 и g(0)=∫−∞+∞f(x)dx=1.

3.  νr≜M[Xr]=1irdrdtrg(t)|t=0. Продифференцируем r раз функцию g(t):

drdtrg(t)≜drdtr(M[eitX])=drdtr∫−∞+∞eitxf(x)dx=

=∫−∞+∞(drdtreitx)f(x)dx=∫−∞+∞irxreitxf(x)dx=irM[XreitX].

Отсюда при t=0 получаем указанную формулу.

4. Пусть Y=aX+b, где X - СВ с плотностью fX(x) и характеристической функцией gX(t).Тогда

gY(t)≜M[eit(aX+b)]=eitbM[eitaX]=eitbgX(at).

§ 5. Основные понятия

5.6. Квантиль

Определение 5.16. Квантилью уровня p функции распределения F(x) СВ X называется минимальное значение xp, при котором функция распределения F(x) не меньше значения p, гдеp∈(0,1), т.е.

xp≜min{x:F(x)≥p},p∈(0,1).

На рис. 5.4 указаны квантили уровней α, β и γ некоторой функции распределения F(x).

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Если функция распределения строго монотонна и непрерывна, то квантиль является единственным решением уравнения F(xp)=p.

Определение 5.17. Квантиль уровня p=1/2 называется медианой.

Если плотность распределения существует, симметрична относительно оси Oy и строго положительна на связном множестве (отрезке или оси Ox ), то xp=−x1−p. Действительно, пусть СВY≜−X. При сделанных предположениях FY(x)≡FX(x), поэтому yp=xp для любого p Далее, так как fY(x)≡fX(x) и ∫x1−p∞fX(x)dx=p, то yp=−x1−p. Поэтому xp=−x1−p (рис. 5.5).

Замечание 5.7.

 Квантиль является одной из основных статистических характеристик, используемых в математической статистике (см. гл. V, VI).

§ 5. Основные понятия

5.7. Типовые задачи

Задача 5.1.

Известно, что P{X>3}=1/3. Найти FX(3).

Решение. По определению функции распределения

FX(x)=P{X≤x}.

Следовательно, FX(3)=1−P{X>3}. Поэтому

FX(3)=1−1/3=2/3.

Ответ. FX(3)=2/3.

■

Задача 5.2.

Для СВ X   и Y   заданы ряды распределений в виде табл. 5.2 и 5.3 . Сравнить FX(FY(1/2))   иFY(FX(1/2)).

Таблица 5.2 X -1 0 P 1/2 1/2

Таблица 5.3 Y 0 1 P 1/2 1/2

Решение. Используя ряды распределений, соответственно получаем:

FY(1/2)≜P{Y≤1/2}=P{Y=0}=1/2,

FX(1/2)≜P{X≤1/2}=P{{X=−1}+{X=0}}=P{X=−1}+P{X=0}=1.

Аналогично,

FX(FY(1/2))=FX(1/2)=1,

FY(FX(1/2))=FY(1)=P{Y≤1}=P{{Y=0}+{Y=1}}=1.

Ответ. FX(FY(1/2)) = FY(FX(1/2))=1.

■

Задача 5.3.

Даны функции: 1)

f1(x)=−x2; 2)f2(x)=12sinx+12;3)f3(x)=1π1(1+x2).

Являются ли эти функции плотностями вероятности?

Решение. Здесь необходимо проверить выполнение условий 1)f(x) и 2)f(x) неотрицательности и нормировки плотности. У первой функции не выполнено условие неотрицательности, так как существует такое значение x, что f1(x)<0, так как f1(x)<0   для всех x≠0.   У второй функции не выполнено условие нормировки, так как интеграл ∫−∞+∞12(1+sinx)dx   расходится. Наконец, третья функция является плотностью, так как она неотрицательна и

∫−∞+∞f3(x)dx=1π∫−∞+∞11+x2dx=1πarctgx|∫−∞+∞=1.

Ответ. Плотностью распределения является только f3(x).

■

Задача 5.4.

Известно, что случайная величина X, принимающая два значения x1=2   и x2=3, имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения СВ X, найти дисперсию и построить график функции распределения.

Решение. Пусть P{X=2}=p, тогда, согласно условию нормировки, P{X=3}=1−p.Используя определение математического ожидания M[X]=2p+3(1−p)=3−p, получаем уравнение 3−p=2,2, откуда находим p=0,8. Ряд распределения представлен в табл. 5.4. Теперь вычисляем дисперсию: D[X]=(2−2,2)2⋅0,8+(3−2,2)2⋅0,2=0,16.

Ответ. Ряд распределения приведен в табл. 5.4, D[X]=0,16, график функции распределения приведен на рис. 5.6.

Таблица 5.4 X 2 3 P 0,8 0,2

Рис. 5.6

■

Задача 5.5.

Сделано два высокорисковых вклада  — 20 млн. руб. в компанию A   и 18 млн. руб. в компанию B.Компания A   обещает 40 % годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,3, компания B   обещает 30% годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,2. Будем считать, что банкротства компаний независимы. Составить ряд распределения случайной величины X, равной сумме вкладов, полученных от двух компаний через год. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. Согласно условию задачи СВ X   может принимать следующие значения:

x1=0, если обе компании обанкротятся;

x2=20+0,4⋅20=28, если обанкротится только компания

B; x3=18+0,3⋅18=23,4, если обанкротится только компания

A; x4=28+23,4=51,4, если ни одна из компаний не обанкротится.

Для построения ряда распределения случайной величины X   достаточно найти вероятности событий {X=xi}, i=1,4¯¯¯¯.

Рассмотрим дополнительно события: A= {Компания A  обанкротится}, B= {Компания B   обанкротится}. Тогда P{X=x1}=P(A⋅B). Согласно формуле умножения вероятностей, а также учитывая независимость событий A   и B, будем иметь: P{X=x1}=P(A)⋅P(B)=0,3⋅0,2=0,06. Аналогично найдем вероятности оставшихся событий. Имея ввиду, что события A¯¯¯   и B¯¯¯   независимы, получим

P{X=x2}=P(A¯¯¯⋅B)=P(A¯¯¯)⋅P(B)=0,7⋅0,2=0,14,

P{X=x3}=P(A⋅B¯¯¯)=P(A)⋅P(B¯¯¯)=0,3⋅0,8=0,24,

P{X=x4}=P(A¯¯¯⋅B¯¯¯)=P(A¯¯¯)⋅P(B¯¯¯)=0,7⋅0,8=0,56.

Таким образом, имеем ряд распределения случайной величины X   (см. табл. 5.5). По определению математическое ожидание СВ X может быть найдено следующим образом:

M[X]=∑i=14xipi=38,32.

Найдем также дисперсию СВ X :

D[X]=∑i=14(xi−M[X])2pi=252,25.

Ответ. M[X]=38,32, D[X]=252,25.

■

Задача 5.6.

Плотность вероятности случайной величины X   выглядит следующим образом:

f(x)=⎧⎩⎨32x2,|x|≤h,0,|x|>h.

Найти h, M[X], F(x), D[2X+3], M[X2−3X+2].

Решение. Для нахождения h   воспользуемся условием нормировки, согласно которому ∫−∞+∞f(x)dx=1. В данном случае

∫−∞+∞f(x)dx=32∫−hhx2dx=32⋅x33∣∣∣∣=h3.

Таким образом, h3=1, и поэтому h=1. Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой, связывающей плотность f(x)   с функцией распределения

F(x)

: F(x)=∫−∞xf(t)dt. Тогда F(x)=0, если x∈(−∞,−1).

Если x∈[−1,1), то F(x)=F(−1)+∫−1x32t2dt=12(x3+1).

Если x∈[1,+∞), то F(x)=F(−1)+∫−1132t2dt+∫1x0dt=1.

Таким образом,

F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪0,x∈(−∞,−1),x32+12,x∈[−1,1),1,x∈[1,+∞).

(5.1)

Для нахождения M[X2−3X+2]   и D[2X+3]   воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии. Получим

M[X2−3X+2]=M[X2]−3M[X]+2,

D[2X+3]=4D[X].

(5.2)

Выразив M[X2]   через M[X]   и D[X], получим M[X2]=(M[X])2+D[X]. Таким образом,

M[X2−3X+2]=D[X]+(M[X])2−3M[X]+2.

(5.3)

Вычислим

M[X]=∫−∞+∞xf(x)dx=32∫−11x3dx=32⋅x44∣∣∣∣=0,

D[X]=∫−∞+∞(x−M[X])2f(x)dx=32∫−11x4dx=32⋅x55∣∣∣∣=32⋅25=35.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины X   можно было не вычислять, так как график плотности y=f(x) симметричен относительно прямой x=0, и следовательно, согласносвойству 9) mX   имеем M[X]=0. Подставив найденные значения M[X]   и D[X]   в формулы (5.2) и (5.3), получим M[X2−3X+2]=35+2=2,6, D[2X+3]=4⋅35=2,4.

Ответ. h=1, M[X]=0, выражение для F(x)   приведено в (5.1), M[X2−3X+2]=2,6,D[2X+3]=2,4.

■

Задача 5.7.

Найти квантиль уровня p=2/3   для следующих СВ:

а) случайная величина X   имеет ряд распределения, указанный в табл. 5.6;

б) случайная величина Y   имеет плотность вероятности

f(x)={2x,x∈[0,1],0,x∉[0,1].

Таблица 5.6 X 0 1 2 3 P 0,25 0,25 0,25 0,25

Решение. а) По определению должно выполняться неравенство 2/3≤F(x2/3)   и x2/3   должно быть минимальным среди всех чисел, удовлетворяющих этому условию. Непосредственные вычисления дают следующий результат:

F(0)=P{X≤0}=P{X=0}=1/4<2/3,

F(1)=P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=1/2<2/3,

F(2)=P{X≤2}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=3/4>2/3. Таким образом, x2/3=2.

б) В данном случае на отрезке [0,1]   функция распределения СВ X   имеет вид

F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x2tdt=x2,x∈[0,1],

и поэтому является непрерывной и строго монотонной на отрезке [0,1]. В соответствии со свойством квантили находим x2/3   из уравнения F(x2/3)=2/3, откуда x2/3=2/3−−−√≈0,8165.

Ответ. а)x2/3=2; б) x2/3≈0,8165.

■