4.3 Математические модели и характеристики погрешностей

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов (24,25). Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач.

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Для измерений, проводимых различными методами и средствами, модели могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения следует представлять (7, 26) в виде суммы нескольких составляющих:

(t)= _s (t) + ₀ (t) + ₀= _s (t) + (_0B (t) + _0H (t)) + ₀

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей, и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.

Систематическая составляющая _s (t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфранизкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность _s (t) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая ₀ (t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: _0B (t) и _0H (t), которые являются стационарными случайными функциями времени, с различными частотными спектрами – высокочастотными и низкочастотными соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.

Составляющая ₀ является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины _0H (t) и ₀ могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию  (t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде

(t)= _s (t) + _0В (t) + ₀ (t)

Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще более упрощенно – в виде случайной величины. В этом случае для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок (4):

 применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

 большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином «непрерывная случайная величина» полагают существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем «случайная погрешность» в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.