5. Хлопчик купив по однаковій ціні 2 зошити в клітинку і 3 - в лінійку. За всі зошити він заплатив 4 грн. Скільки грошей за­платив хлопчик за зошити в лінійку?

	Ціна	Кількість	Вартість
У клітинку	Однакова	2	□	^ 4 грн.
У лінійку		3	7

Як видно із наведених задач, перший вид має такі ознак сталою є перша величина таблиці, друга величина (кількіст представлена двома значеннями, а третя величина - сумою дв> значень. У задачі запитується про один із цих доданків або п обидва. Відповідно до цього задача розв’язується трьома або чоти ма діями. Наведемо приклад розбору задачі про двох кравчинь.

- Що означає число 10 метрів? (Стільки тканини витрата обидві кравчині разом.) А на що вони її витратили? (На пошити всіх суконь.) Що сказано про ці сукні? (Що на кожну витрач ли однакову кількість тканини.) А чи можемо ми дізнатися, і скільки однакових суконь пішло 10 м тканини? (Так, треба д дати кількості суконь, пошитих обома кравчинями.) Коли бу; відомо, на скільки однакових суконь пішло 10 м тканини, про п ми зможемо дізнатися? (Скільки метрів тканини пішло на оди сукню.) А коли взнаємо, скільки метрів тканини пішло на одн сукню, і відомо, що перша кравчиня пошила дві таких сукні, пр що зможемо дізнатися? (Скільки метрів тканини витратил перша кравчиня.) Що ще можна буде дізнатися, знаючи витрат тканини на одну сукню? (Скільки метрів тканини витратил друга кравчиня.) Отже, про що дізнаємося в першій дії? (Скілі ки всього суконь пошили.) Якою дією? (Дією додавання.) Про щ дізнаємося в другій дії? (Скільки метрів тканини пішло на одн сукню.) Якою дією? (Дією ділення.) Що на що будемо ділити

(Загальну кількість метрів тканини поділимо на загальну кілі

кість суконь.) Про що дізнаємося в третій дії? (Скільки метрі тканини витратила перша кравчиня.) Якою дією? (Дією мне ження. Знайдене число метрів помножимо на 2.) Про що дізнає мось у четвертій дії? (Скільки метрів тканини витратила другі кравчиня.) Якою дією? (Дією множення.)

Якщо розв’язувати цю задачу складанням виразу, то виразі] треба записати два - за числом знаків питання:

10 : (2 + 3) • 2 = 4 (м) - витратила І кравчиня;

10 ' (2 + 3) ^ш3 = 6 (м) - витратила II кравчиня.

Сама собою напрошується перевірка правильності одержаних відповідей: 4 + 6 = 10 (м).

Якщо у задачі запитується не про два числа, а про одне, то в таблиці ставиться лише один знак питання, а інший доданок по­значається порожнім квадратиком, як у задачі про зошити в клі­тинку і в лінійку. Можна запитати в учнів, що ще можна дізна­тися у цій задачі? (Вартість зошитів у клітинку.) Причому її можна обчислити двома способами:

• ціну помножити на кількість зошитів у клітинку;

• від загальної вартості 4 грн. відняти вартість зошитів у ліній­ку, яку знайшли в третій дії.

Задачі 2 виду

(№№ 738, 739, 751, 760, 768, 775)

Вони характерні тим, що в умові подана сума кількостей (дру­га величина таблиці), а третя величина представлена двома зна­ченнями.

За два дні фермер здав на молочарню 9 відер молока. Першого дня він здав 40 л молока, а другого - 32 л. Скільки відер молока здав фермер першого дня і скільки - другого?

	Місткість одного відра	Кількість відер		Усього літрів молока
І день	Однакова	?	(Ґ	40 л
II день		?		32 л

Турист, ідучи з однаковою швидкістю, пройшов першого дня 20 км, а другого - 12 км. Усього в дорозі він був 8 год. Скільки годин був у дорозі турист першого і другого дня?

	Швидкість	Час		Відстань
І день	Однакова	?	^ 8 год	20 км
II день		?		12 км

Розглянемо приклад розбору останньої задачі.

- Що означає час 8 год? (Стільки часу був у дорозі турист першого і другого дня разом.) Так, це є сума двох доданків, кож­ний з яких треба знайти. А чи можемо ми знайти відстань, яку пройшов турист за цих 8 год? (Так, бо відомі обидві відстані.) А що сказано про швидкість? (І першого, і другого дня турист ішов з однаковою швидкістю.) Чи зможемо ми її знайти? (Так, бо ми будемо мати загальну відстань і час, за який турист про­йшов цю відстань.) Таким чином ми знайдемо суму відстаней, якій відповідає сума двох значень часу. Тобто, маємо дві суми.

Щоб знайти швидкість, потрібно першу суму поділити на др гу. Коли знайдемо швидкість, про що можна дізнатися? (Про чі руху туриста щодня.) Після складання плану можна розв’язаа задачу спочатку діями, а потім - складанням виразу.

1. 20+12 = 32 (км);

2. 32: 8 = 4 (км/год); 20 : ((20 + 12) : 8) = 5 (год);

3. 20 : 4 = 5 (год); 12 : ((20 + 12) : 8) = 3 (год);

4. 12 : 4 = 3 (год).

Перевірка: 5 + 3 = 8 (год).

Серед задач II виду трапляються видозмінені.

За 10 год автомобіль витратив 80л пального: 48 л до зупинки, а решту - після зупинки. Скільки годин їхав автомобіль до зу­пинки і скільки після зупинки, якщо витрата пального за годи­ну була однакова?

	Витрата пального за 1 год	Кількість годин		Усього пального
/\о зупинки	Однакова	?	^ 10год	48 л	[ 80л
Після зупинки		?		□

Тут обидві суми відомі, тому сталу величину можна знайти відразу:

1. 80 : 10 = 8 (л).

Після цього можна дізнатися час до зупинки:

2. 48: 8 = 6 (год).

А щоб дізнатися час руху після зупинки, треба спочатку знай­ти, скільки літрів пального витратив автомобіль після зупинки:

3. 80-48 = 32 (л);

4. 32 : 8 = 4 (год).

Перевірка: 6 + 4 = 10 (год).

Замість дій 3) і 4) можна виконати останню дію так:

10-6 = 4 (год).

Серед задач із зірочками є ускладнена задача на пропорційне ділення (№ 378*).

Тетянка мала 10 цукерок, а Юля - 8. До них приєдналася Оле­ся і вони всі цукерки поділили порівну. Олеся повернула їм за цукерки 72 к. Скільки грошей отримала з цієї суми Тетянка і скільки - Юля?

Цю задачу також можна подати у таблиці. Її заповнюють не відразу, а поступово, у ході аналізу. Оскільки задача складна, то тут можна відступити від загального правила розбору і дозволити учням виконувати дії вже в ході розбору. Під час повторення зміс­ту задачі початковий вигляд таблиці може мати такий вигляд:

	Ціна 1 цукерки	Кількість цукерок			Вартість цукерок
		Було	Стало	Віддали
Тетянка		10
Юля		8
Олеся		0

Учитель пояснює: спочатку у Тетянки було 10 цукерок, у Юлі - 8, в Олесі - 0. Коли всі цукерки вони поділили порівну, то Олеся дістала певну кількість цукерок і за них заплатила 72 к. Тому 72 к. - це вартість цукерок, що їх отримала Олеся. Чи можемо ми дізнатися, скільки цукерок отримала Олеся? (Так. 10 + 8 = 18 (ц.), 18-3 = 6 (ц.).) А по скільки цукерок залишилося у Тетянки і Юлі? (Так само по 6.) Учитель у стовпці “Стало” вписує знайдені числа.

Таблиця набуває такого вигляду:

	Ціна 1 цукерки	Кількість цукерок			Вартість цукерок
		Було	Стало	Віддали
Тетянка		10	6
Юля		8	б
Олеся		0	6		72 к.

8¹"⁷

- Якщо ми знаємо, що Тетянка мала 10 цукерок, а залиши­ла собі 6, то про що можна дізнатися? (Скільки цукерок віддала Тетянка Олесі.) Якою дією? (Віднімання: 10 — 6 = 4 (ц.).) А що можна взнати про Юлині цукерки? (Так само можна дізнатися, скільки цукерок Юля віддала Олесі: 8 - 6 = 2 (ц.).)

Учитель вносить у таблицю знайдені числа:

	Ціна 1 цукерки	Кількість цукерок			Вартість цукерок
		Було	Стало	Віддали
Тетянка		10	6	4
Юля		8	6	2
Олеся		0	6	-	72 к.

- Що ж запитується у задачі? (Скільки копійок одержала Ті тянка і скільки - Юля?) Тепер ви розумієте, що гроші, які отрт: мала Тетянка, - це вартість чотирьох цукерок, які вона віддал Олесі, а що означають гроші, отримані Юлею? (Це вартість дво. цукерок.) Отже, поставимо знаки питання у стовпці “Вартість навпроти чисел 4 і 2. (Учитель вносить знаки у таблицю.) По гляньте тепер на нижній рядок таблиці і скажіть, що нам вж> відомо про Олесю. (Що вона одержала 6 цукерок і заплатилі за них 72 к.) То про що ми можемо дізнатися? (Скільки копійої коштує 1 цукерка. 72 ■ 6 = 12 (к.).) Що сказано про ціну цуке рок? (Нічого не сказано, але зрозуміло, що всі цукерки однакові., Отже, внесемо ціну однієї цукерки у таблицю тричі. Після усі> змін таблиця має вигляд:

					Кількість цукерок			Вартість
					Було	Стало	Віддали	цукерок
Тетянка			12 к.		10	6
	га
Юля	V		12 к.		8	6
	ї
Олеся	О		12 к.		0
								У* / ^ к.

• Якщо ми знаємо, що ціна однієї цукерки 12 к., і знаємо, що Тетянка отримала гроші за чотири цукерки, то про що можна дізнатися? (Скільки грошей отримала Тетянка. 12 • 4 = 48 (к.).)

• Чи можна так само дізнатися, скільки грошей отримала Юля? (Так. 12 • 2 — 24 (к.).) От ми і розв’язали задачу. Як переві­рити, чи правильні у нас вийшли відповіді? (48 + 24 = 72 (к.).)

Правильно, Тетянка і Юля разом мали отримати 72 копійки — стільки їм віддала Олеся.

Далі учні, дивлячись на таблицю, записують дії з поясненням:

1. 10 + 8 = 18 (ц.) - всього;

2. 18 '■ 3 = 6 (ц.) - стало в кожної дівчинки;

3. 10 - 6 = 4 (ц.) - віддала Тетянка;

4. 8 - 6 = 2 (ц.) - віддала Юля;

5. 72 : 6 = 12 (к.) - ціна 1 цукерки;

6. 12 ■ 4 = 48 (к.) - одержала Тетянка;

7. 12 ■ 2 = 24 (к.) - одержала Юля.

Таким чином, Тетянка і Юля поділили між собою 72 к. не ірівну, а пропорційно тим кількостям цукерок, які вони відда- [. Звідси і назва типу задач - на пропорційне ділення.

Задачі 3-4 виду

Як уже йшлося, у цих задачах сталою є друга величина таб-

ЩІ.

З вид.

Іграшковий відділ за день продав однакову кількість відерець і лопаток. Ціна відерця - 3 грн., лопатки - 2 грн. За всі відерця і лопатки відділ виручив 45 грн. Яка вартість усіх проданих відерець і лопаток окремо?

	Ціна	Кількість	Вартість
Відерця	3 грн.	Однакова	?	^45 грн.
Лопатки	2 грн.		?

Учні вже звикли, що спочатку потрібно знайти сталу величи- , тобто, в данному випадку, - кількість. Щоб вони зрозуміли, иу спочатку треба додати дві ціни, учитель проводить бесіду:

- Що сказано про кількість відерець і лопаток? (Що вона од- кова.) Тому уявимо собі, що кожну лопатку поклали у відерце ;істали набори: “відерце з лопаткою”. Скільки вийшло таких зорів? (Стільки ж, скільки продали відерець і скільки лопа- к.) Отже, якщо ми знайдемо кількість наборів, то тим самим взнаємо і кількість відерець і кількість лопаток. Які дві ве- тини потрібно мати, щоб дізнатися кількість наборів? (Треба

мати вартість усіх наборів і ціну одного набору.) Чи маємо м вартість усіх наборів? (Так, 45 грн. - це вартість усіх відерець лопаток разом, тобто всіх наборів.) А чи маємо ми ціну одної набору? (Ні, не маємо, але можемо взнати, бо відомі ціна відерц і ціна лопатки окремо.) А коли взнаємо ціну одного набору, пр що зможемо дізнатися? (Про кількість усіх наборів. Ми вартіст 45 грн. поділимо на ціну 1 набору.) Що тепер буде відомо про в

дерця? (Маємо ціну 1 відерця і взнаємо кількість відерець.) Щ

за цими двома даними можна буде знайти? (Вартість усіх від< рець.) Аналогічно з’ясовуємо і про лопатки.

Розв’язання:

1. 3 + 2 - 5 (грн.) - ціна 1 набору;

2. 45 '■ 5 = 9 (шт.) - кількість усіх наборів;

3. 3 • 9 = 27 (грн.) - вартість усіх відерець;

4. 2 • 9 = 18 (грн.) - вартість усіх лопаток.

Перевірка: 27 + 18 = 45 (грн.)

4 вид.

4 вид можна одержати, склавши задачу, обернену до задач З виду. У таблиці вона матиме вигляд:

	Ціна		Кількість	Вартість
Відерця	р	^ 5 грн.	Однакова	27 грн.
Лопатки	р			18 грн.

У підручнику з математики майже немає таких задач. Пі; № 103* подана підготовча задача до задач даних видів. У ній запи тується про кількість, тому вона розв’язується двома діями.

Для прикраси маскарадних костюмів 490 см кольорової стріч­ки порізали на смужки довжиною 6 см і 8 см. Скільки дістали тих і других смужок, якщо їх кількість однакова?

Смужки	Довжина 1 смужки	Кількість смужок		Загальна довжина
Коротші	6 см	« о о	р	□	}
		V			У490см
		« а;
Довші	8 см	О	р	□ .

Розв’язання:

1. 6 + 8 = 14 (см) - сумарна довжина коротшої і довшої смужки разом;

2. 490 ■ 14 = 35 (шт.) - кількість коротших смужок і кількість довших смужок.

Учитель разом з учнями може розширити задачу ще на дві дії:

3. 6 ■ 35 = 210 (см) - довжина всіх коротших смужок разом;

4. 8 • 35 = 280 (см) - довжина всіх довших смужок разом.

Вписавши дві останні відповіді у порожні клітинки таблиці,

жна запитати в учнів, як вони виконають перевірку.

(210 + 280 = 490 (см).)

Бажано, щоб задачі 3-4 видів учитель склав сам, тому що в щучнику їх недостатня кількість.

Задачі на знаходження чисел за двома різницями (III тип)

У початкових класах розглядають усього два види таких за- і, в обох сталою є перша величина таблиці. Покажемо зразки >х видів на прикладі двох взаємообернених задач.

1 вид.

За однаковою ціною купили 5 кг яблук і 7 кг слив. За сливи за­платили на 8 грн. більше, ніж за яблука. Скільки гривень запла­тили за яблука і сливи окремо?

Фрукти	Ціна	Кількість	Вартість
Яблука	Однакова	5 кг	? <
Сливи		7 кг	?, на 8 грн. більше —1

2 вид.

За однаковою ціною купили яблука і сливи. За яблука заплатили 20 грн., а за сливи - 28 грн. Слив купили на 2 кг більше, ніж яб­лук. Скільки кілограмів яблук купили? Скільки кілограмів слив?

Фрукти	Ціна	Кількість	Вартість
Яблука	Однакова	1	20 грн.
Сливи		?, на 2 кг більше	28 грн.

Щоб ознайомити учнів з такими задачами, потрібно заздал гідь провести підготовчу роботу. Підручник для 4 класу (№ 81 пропонує поступовий розгляд трьох задач, у яких кожна наступі є розширенням попередньої. На нашу думку, такої роботи нед статньо. Варто перед цим провести творчу роботу над перетвореї ням задачі І типу: спочатку в задачу II типу, а тоді - у задаь З типу. Така робота розкриє зв’язок між усіма типами задач зробить задачі 3 типу більш зрозумілими. Покажемо це на коні ретному прикладі.

Задача І типу - на знаходження четвертого пропорційного. Школа придбала для математичного кабінету 6 підручників і 4 посібники за однаковою ціною. За підручники заплатили 60 грн. Скільки гривень заплатили за посібники?

Учні усно розв’язують задачу за коротким записом на дошці:

Назва	Ціна	Кількість	Вартість
Підручники	Однакова	6	60 грн.
Посібники		4	?

Учитель вносить одержану відповідь 40 грн. у таблицю заміст: знака питання.

- Якщо нам уже відомо, скільки гривень школа заплатила з. підручники (показує в таблиці), і скільки - за посібники, то пр< що ще ми можемо дізнатися? (Скільки всього гривень заплатилс школа. 60 + 40 = 100 (грн.).) А тепер - увага! Я вношу зміни і таблицю! Нехай нам невідомі числа 60 і 40, але відома їх сума:

Назва	Ціна	Кількість	Вартість
Підручники	Однакова	6	?	|>100 грн.
Посібники		4	?

• Чи впізнаєте ви задачу на пропорційне ділення? Хто скла­де задачу за таблицею? (Учні складають задачу II типу, усне розв’язують її і знову дістають числа 60 грн. і 40 грн. Учитель знову вносить їх у таблицю замість знаків питання.)

• Ви бачите, що знаючи суму 100 грн., ми змогли знайти кож­ну вартість окремо. А тепер я знову перетворю цю задачу в нову. Таких ми ще не розглядали. Давайте обчислимо не суму, а різни­цю чисел 60 і 40: 60 - 40 — 20. Що означає число 20? (Що за під­

ручники заплатили на 20 грн. більше, ніж за посібники.) Нехай тепер нам буде відома лише ця різниця, а треба знайти самі числа 60 і 40 - вони невідомі.

Учитель вносить зміни у таблицю:

Назва	Ціна	Кількість	Вартість
Підручники	Однакова	6	?, на 20 грн. більше, ніж -|
Посібники		4	1

• Хто тепер сформулює задачу за таблицею? (За однаковою ці­ною купили 6 підручників і 4 посібники. За всі підручники запла­тили на 20 грн. більше, ніж за посібники. Скільки гривень окремо заплатили за підручники і за посібники?)

• Якщо б ми дізналися ціну, то чи змогли б ми знайти вартості підручників і посібників? (Так. Ми ціну помножили б на кожну кількість.)

• Отже, спростимо задачу. Треба знайти ціну однієї книжки, якщо відомо, що підручників купили 6, посібників - 4, а за всі підручники заплатили на 20 грн. більше, ніж за всі посібники. Позначимо кількості книжок відрізками:

6

Підручники —г . і ~:.т~ іт^,

4

Посібники г—,.. , ... г-т>

• Давайте порівняємо кількості підручників і посібників. Яких книжок більше і на скільки? (6-4 = 2. Підручників купили на 2 більше.) А що ми знаємо про вартість підручників? (За підруч­ники заплатили на 20 грн. більше, ніж за посібники.) Давайте об’єднаємо ці два речення: підручників купили на 2 більше, тому за них заплатили на 20 грн. більше:

2

\20 грн.

Підручники

Посібники

- То за скільки підручників заплатили 20 грн? (За два.) Чому? Подивіться ще раз на відрізки. Підручників купили стільки ж, скільки й посібників, і ще 2. Тому за підручники заплатили стіль­ки ж, скільки й за посібники, і ще 20 грн. Отже, цих 20 грн. припадає на два “зайвих” підручники. А якщо ми з’ясували, що за два підручники заплатили 20 грн., то про що звідси можна дізнатися? (Скільки коштує один підручник. 20 : 2 = 10 (грн.).)

- Давайте ще раз проаналізуємо, як ми взнали ціну. 20 грн. - ц різниця вартостей підручників і посібників. Різницю вартосте] поділили на різницю кількостей і дістали ціну. Пам’ятаєте, ми го ворили, що дію можна виконувати лише над відповідними значен нями величин. Вартості 20 грн. відповідає кількість 2 книжки. Яі ми її знайшли? (6 - 4 — 2.) У попередній задачі вартості 100 грн відповідала кількість 6 + 4 = 10 (книг). Суму вартостей ми ділилі на суму кількостей: 100 : 10 = 10 (грн.) У цій задачі ми різницк вартостей ділимо на різницю кількостей: 20 : 2 = 10 (грн.). А ціне виходить однакова. Давайте закінчимо задачу.

3. 10 • 6 = 60 (грн.) - вартість підручників;

4. 10 ■ 4 = 40 (грн.) - вартість посібників.

Дві останні дії такі самі, як і в попередній задачі. Ми знов\ отримали ті самі числа 60 і 40, різниця яких 20 нам була відома.

Після такої ґрунтовної роботи учням не важко буде приступити до підготовчих задач №№ 804, 814, які містяться у підручнику.

У підручнику М. В. Богдановича є значна кількість задач III типу: 1 вид - №№ 822, 830, 835, 897, 1024; 2 вид - №№ 825, 835, 838, 844, 848.

Розбираючи такі задачі, вчитель щоразу з’ясовує з учнями, що якщо відома різниця двох значень однієї величини, то їй від­повідає різниця двох значень другої величини, яку можна знай­ти. Бажано на початках ілюструвати ці дві різниці за допомогою відрізків, як у підготовчій роботі.

Підручник містить і розширену задачу цього типу - у ній по­трібно знайти суму двох невідомих значень величини, якщо відо­ма їх різниця (№ 856).