Пропедевтика алгебраїчного, геометричного й арифметичного матеріалу в задачах для 3 класу

Аналізуючи систему задач у підручнику з математики для З класу, доцільно виділити ще кілька груп задач: задачі з бук- веними даними, задачі з геометричним змістом, пропедевтичні задачі на рух, на непряму форму, на знаходження середнього арифметичного, на знаходження четвертого пропорційного спосо­бом відношень — вони готують дітей до розв’язування складніших задач у 4 класі. Розглянемо деякі з них.

Задачі з буквеними даними

(№№ 258, 267, 381, 435, 551, 685, 827, 836, 844)

У 3 класі розглядаються задачі на 1-3 дії, в умові яких одне або два даних позначені буквами. Є задачі з готовим зразком за­пису розв’язання і відповіді, є й такі, у яких потрібно дати пояс­нення до готових виразів. Нерідко у задачі ставиться додаткове завдання: знайти усно відповідь, якщо буквам надати вказаних числових значень. Розглянемо таку задачу.

На тарілці лежало а жовтих слив, а червоних - на 8 більше.

У скільки разів більше червоних слив, ніж жовтих, лежало на тарілці? Знайди усно відповідь, якщо а = 4.

У ході розбору задачі учні поступово складають буквений ви­раз із поясненням: а - жовтих слив; а + 8 - червоних слив;

У (а + 8): а разів більше червоних слив, ніж жовтих.

Число 4 підставляється у вже готовий буквений вираз.

Задачі з буквеними даними вводяться з метою навчити дітей бачити абстрактну структуру розв’язання задачі. Тому помилкою буде, якщо відразу виконувати обчислення, без складання букве- ного виразу. Корисною буде творча робота над уже складеним бук- веним виразом: замість букви учні можуть спробувати підставити й інші числові значення і дізнатися, як це вплине на розв’язання задачі. Результати вчитель може подати в таблиці, заздалегідь накресленій на дошці:

а	1	2	3	4
(а+8) : а	40 II 40	10:2 = 5	□ II 00 »*-і	12:4 = 3
а	5	6	7	8
(а+8) : а	□ II	К-і о\ II □	15 : 7 = □	16:8 = 2
а	9	10	11	12
(а+8) : а	К-4 N1 40 II □	18 :10 =□	19:11 =□	20: 12 =□
а	13	14	15	16
(а+8) : а	□ II 00 СЧ	□ II СЧ СЧ	23 : 15 =□	24 : 16 =□

Дослідження показує, що лише при небагатьох значеннях а у другій дії можна виконати ділення наділо, а саме: при а = 1; 2; 4; 8. Такі дослідження варто проводити з учнями щоразу, коли вони працюють над задачею з буквеними даними. Це дасть значну підго­товку до сприйняття алгебраїчного матеріалу в подальшому. Учні побачать, що в одні буквені вирази можна підставляти будь-які зна­чення букви, в інші - лише деякі. Таким чином, у них складається інтуїтивне уявлення про область визначення виразу, функції.

Задачі з геометричним змістом

(№№ 514, 759, 937, 1072)

Переважно це задачі на знаходження периметра многокутни­ка. Наведемо приклади.

1. Довжина прямокутника 8 см, а ширина - у 2 рази менша. Об­числи периметр прямокутника.

Довжина - 8 см <

Ширина -?, у 2рази менша -

Периметр - ?

2. Ширина прямокутника 7 дм, а довжина - на 2 дм більша. Ви­знач периметр прямокутника.

Ширина - 7 см <

Довжина - на 2 дм більша -

Периметр - ?

3. Довжина прямокутника 20 м, а ширина становить четверту частину від довжини. Визнач периметр прямокутника.

Довжина - 20 м

Ширина -4-від

Периметр - ?

4. Ширина прямокутника 2 м, що становить його довжини. Обчисли периметр прямокутника.

Ширина - 2 м, ^-від

Довжина - ? <

Периметр - ?

Дві останні задачі включають у себе прості задачі на знахо­дження частини від числа і числа за його відомою частиною. Ра­ціональним способом обґрунтування вибору дій у таких задачах є пропозиція самостійно накреслити даний чи подібний йому пря­мокутник у зошиті чи на чернетці, а тоді вже обчислювати його периметр. Так, в останній задачі, накресливши ширину прямо­кутника, діти повинні усвідомити, що довжина - це довша сторо­на. Якщо ширина становить довжини, то довжина - у 3 рази більша від ширини. Накресливши прямокутник, учні можуть надписати довжини його сторін. Тоді розв’язання не становитиме труднощів. Сам периметр можна обчислити трьома способами.

1. спосіб. 2 + 6 + 2 + 6 = 16 (м).

2. спосіб. 2 ■ 2 + 6 • 2 = 16 (м).

3. спосіб. (2 + 6) ■ 2 = 16 (м).

Пропедевтика задач на рух

(№№538, 542, 595, 656, 694, 702, 731, 737, 810, 857, 1071)

Поняття швидкість та зв’язок швидкості з відстанню і часом вивчається у 4 класі. Проте у 3 класі є ряд задач, які готують учнів до розуміння понять швидкості, відстані, руху в одному і протилежних напрямах, руху зі зміною напряму тощо.

Розглянемо кілька задач.

1. Два зайчики змагалися у бігу. Перший за 1 с пробігає 10м, а дру­гий -8 м. На скільки метрів більше пробіжить перший зайчик, ніж другий, за 6 с?

Короткий запис можна здійснити двома способами.

І спосіб.

	Відстань за 1 секунду	Кількість секунд	Загальна відстань
І зайчик	10 м	6 с	□	ЧЯя ?м більше
II зайчик	8 м	6 с	□

Це задача на знаходження різниці двох добутків із трійкої величин швидкість - час - відстань. Проте слово “швидкість” тре тьокласникам ще не знайоме, воно замінене словами “відстань з 1 секунду”. Насправді біг обох зайчиків не пов’язаний у часі просторі, але його можна представити учням як рух в одному ш прямі, який почався одночасно. Для цього можна виконати таки короткий запис.

II спосіб.

Задачу можна розв’язати двома способами:

1. спосіб.

1. 10 ■ 6 = 60 (м) - пробіг перший зайчик за 6 с;

2. 8 ■ 6 = 48 (м) - пробіг другий зайчик за 6 с;

3. 60 - 48 = 12 (м) - на стільки більше пробіг перший зайчик, ніж другий, за 6 с.

Усі відстані учитель показує на кресленні.

2. спосіб.

1. 10 - 8 = 2 (м) - на стільки більше пробігає перший зайчик, ніж другий, за 1 с.

2. 2 • 6 = 12 (м) - на стільки більше пробігає перший зайчик, ніж другий, за 6 с.

Учитель показує на кресленні, де опиняться обидва зайчик через 1 с, 2 с, 3 с ..., та як зростатиме між ними відстань: на 2 іу 4 м, 6 м, ... .

У задачах на рух уява відіграє неабияку роль. Щоб учні добр уявляли собі весь процес бігу, можна проілюструвати його за допс могою руху двох учнів. Щосекунди учитель зупиняє їх і учні ВИЗНЕ чають, на скільки метрів перший “зайчик” віддалився від другого

2. Два автобуси виїхали назустріч один одному з двох міст. Пер­ший автобус проїхав до зустрічі 112 км, а другий - на 20 км більше. Яка відстань між містами?

Короткий запис найзручніше подати у вигляді креслення.

^ р 112 км Х| І ?, на 20 км більше ^

_ -

Задача дає дуже потрібне у подальшому розуміння: відстань між пунктами відправлення при зустрічному русі дорівнює сумі відстаней, пройдених рухомими тілами до зустрічі. Два знаки пи­тання на кресленні є підказкою, що задача розв’язується двома діями, а не однією.

3. Тато за 4 хв проходить на лижах 1200 м, а син за 3 хв прохо­дить 600 м. На скільки більше метрів за 1 хвилину проходить тато, ніж син?

	Відстань за 1 хв		Кількість хвилин	Загальна відстань
Тато	□	На ? м більше	4хв	1200 м
Син	□		3 хв	600 м

Крім таблиці, доцільно подати ілюстрацію у вигляді креслення:

1200 м

Тато: _| , ,

600'М

Син: *—Г - ^ - у, _ь

?

Зауважимо, що структура таких задач на рух нічим не відріз­няється від структури задач з іншим сюжетом. Так, остання зада­ча розв’яжеться виразом, що є різницею двох часток.

Пропедевтика задач на знаходження четвертого пропорційного способом відношень

(№ 966)

Із 10 кг яблук виходить 1 кг сухофруктів. Скільки кілограмів сухофруктів вийде з 40 кг яблук?

Короткий запис:

З клас 7*

10 кг - 1 кг 40 кг - ?

Задачу можна проілюструвати кресленням:

Яблука Юкг 10 кг 10 кг 10 кг

Сухофрукти 1кг 1кг 1 кг 1кг

Учні підраховують кількість сухофруктів додаванням або мне женням: 1-4 = 4 (кг). Це є відповідь. Учитель запитує, що означа число 4. (Стільки разів по 10 кг вміщається у 40 кг.) Отже, спс чатку ми виконуємо дію 40 : 10 = 4 (рази). У скільки разів 40 к більше, ніж 10 кг, у стільки ж разів більше вийде сухофруктів і

40 кг яблук. Вищесказане можна подати як доповнення до корот

кого запису:

Яблука: Сухофрукти:

СЮкг - 1 кг<^~

)У4рази більше

40 кг - ? кг

Таким чином, повне розв’язання має такий вигляд:

1. 40 : 10 = 4 (р.)

2. 1 ■ 4 = 4 (кг)

Ми ознайомилися з найважливішими текстовими задачами, що їх розглядають у 3 класі. Перейдемо до розгляду системи за­дач у 4 класі.

4 КЛАС

сГ=#=^

Продовження роботи над задачами на знаходження четвертого пропорційного

Як уже було зазначено, у 3 класі ґрунтовно опрацьовані лише перший і другий види цього типу задач (коли сталою є перша величина таблиці). Задачі ж 3-6 видів подані лише в порядку ознайомлення. Отже, ґрунтовна робота над задачами 3-6 видів припадає на 4 клас.

Проаналізувавши добірку поданих задач у підручнику для і класу, ми побачили, що він містить лише одну задачу 3-го виду ;№ 402) і одну - 4-го (№ 930)! Обидві задачі з величинами - швид­кість, час, відстань. Зауважимо, що короткий запис типових за- цач на рух доцільно подавати у вигляді таблиці, а не креслення, щоб учні швидше впізнати знайомий тип. Наведемо зразки обох задач і їх короткі записи.

Задача 3-го виду.

Дельфін проплив 1 км зі швидкістю 200 м/хв. За цей нас пла­вець проплив 200 м. З якою швидкістю рухався плавець?

	Швидкість	Час	Відстань
Дельфін	200 м/хв	Однаковий	1 км
Плавець	?		200 м

Задача 4-го виду.

Два потяги вийшли одночасно назустріч один одному. Перший потяг їхав зі швидкістю 50 км/год, а другий - 70 км/год. Пер­ший потяг проїхав до зустрічі 150 км. Яку відстань до зустрічі проїхав другий потяг?

	Швидкість	Час	Відстань
І потяг	50 км/год	Однаковий	150 км
II потяг	70 км/год		?

Ми подавали описи розборів подібних задач у 3 класі, тому обмежимося лише деякими заувагами. Розбираючи задачу 3-го зиду, учні доходять до висновку, що 1 км потрібно перетворити в

метри. Одержавши відповідь, учитель може запропонувати уч пересвідчитися: у скільки разів більшу відстань проплив дельї ніж плавець, у стільки ж разів у дельфіна має бути більша ші кість, бо час їхнього руху однаковий.

Задача 4-го виду дуже схожа на задачу з типовим конкі ним сюжетом на зустрічний рух, яка буде розглянута далі, і у задачах з типовим конкретним сюжетом невідомою є або відстань між населеними пунктами, або одна зі швидкостей, час руху до зустрічі. У наведеній задачі запитують про відста пройдену другим потягом до зустрічі. Учні не відразу зрозумів різницю між цими двома різновидами задач на зустрічний р; Коли учитель заповнюватиме таблицю, у стовпці “Час” він споч. ку не пише нічого. Можна запитати в учнів, чи говориться ще у задачі про час. Що можна сказати про час руху двох потягів зустрічі, якщо вони виїхали одночасно? (Він однаковий.) Піс, цього вчитель записує це слово у таблицю.

Звичайно, однією задачею не можна опрацювати цей вид зада Вчитель може запропонувати творчу роботу над уже розв’язане задачею. Наприклад, з тими самими числами придумати сюж задачі з іншою трійкою величин, як-от таких:

1. Магазин продав однакову кількість спідниць по 50 грн. і по 70 грн. за одну спідницю. За спідниці по 50 грн. магазин виручив 150 грн. Скільки гривень виручив магазин за спідниці по 70 грн.?

2. Господарство продало однакову кількість малих і великих кон­тейнерів з картоплею. Маса малого контейнера 50 кг, маса ве­ликого - 70 кг. Загальна маса всіх малих контейнерів - 150 кг.

Яка загальна маса всіх великих контейнерів?

3. Два кондитерських цехи працювали однакову кількість днів. Перший цех за день випікає 50 тортів, а другий - 70 тортів. Перший цех за весь час роботи випік 150 тортів. Скільки тор­тів випік за цей час другий цех?

Подібні задачі допоможуть учням усвідомити, як розв’язуються задачі даного виду. Час на уроці для творчої роботи можна знай­ти. Наприклад, у рубриці “Усні обчислення”, що входить до скла­ду кожного уроку, можна пропонувати учням усно розв’язувати подібні задачі, складені вчителем, з опорою на короткий запис.

Добірка задач 5-6 видів представлена у підручнику для 4 класу номерами 114, 413, 821, 824, 877, 887. Серед них є задачі з такими трійками величин: швидкість - час - відстань; маса одного предме­

та - кількість предметів - загальна маса; довжина одного відрізка - кількість таких відрізків - загальна довжина. Додаткова трудність у розв’язуванні цих задач полягає у перетворенні іменованих чи­сел. Підручник містить і розширені задачі на базі задач 5-6 видів, з різницевим і кратним відношеннями. Наведемо приклади.

1. Турист, ідучи зі швидкістю 6 км/год, подолав відстань між двома селищами за 4 год. Назад він повертався зі швидкістю 4 км/год. Скільки годин знадобилося туристові на зворотний шлях? (5 вид)

	Швидкість	Час	Відстань
Туди	6 км/год	4 год	Однакова
Назад	4 км/год	?

2. Маса 8 однакових великих контейнерів така сама, як і маса 12 малих. Маса одного великого контейнера 1 ц 23 кг. Яка маса одного малого контейнера? (6 вид)

	Маса 1 контейнера	Кількість контейнерів	Загальна маса
Великі	1 ц 23 кг	8	Однакова
Малі	р	12

3. Колесо, довжина обводу якого 1 м 5 дм, на деякій відстані обер­нулося 40 разів. Скільки разів обернеться на тій самій відстані колесо, довжина обводу якого на 5 дм більша від довжини обводу першого колеса? (Розширена задача на базі 5 виду)

Розв’язання останньої задачі:

	Довжина обводу колеса	Кількість обертів	Відстань
Менше колесо	1 м 5 дм*і	40	Однакова
Більше колесо	□ , на 5 дм більша-	?

1. 15 ■ 40 = 600 (дм) - уся відстань;

2. 15 + 5 = 20 (дм) - довжина обводу більшого колеса;

3. 600 '■ 20 = ЗО (разів).

Відповідь: більше колесо обернеться на даній відстані ЗО разів.

Цікавою є розширена задача першого виду № 919, у якій да три значення кількості.

Фермерське господарство здало у продаж 36 однакових контей­нерів з морквою загальною масою 7308 кг. Скільки кілограмів моркви окремо у 5 і 13 таких контейнерах?

Маса 1 контейнера	Кількість контейнерів	Загальна маса
Однакова	36	7308 кг
	5	?
	13	?

Таблиця має на один рядок більше, ніж звичайна, а задача на одну дію більше. Якщо учні розв’язують задачу складання виразу, то виразів має бути стільки, скільки знаків питання є таблиці:

1. 7308 : 36 ■ 5 = 1015 (кг) - маса 5 контейнерів;

2. 7308 : 36 • 13 = 2639 (кг) - маса 13 контейнерів.

Особливий розділ задач становлять задачі на знаходження чет вертого пропорційного, які розв’язуються способом відношень. Н нашу думку, ці задачі варто вилучити із програми 4 класу, ос кільки більшість учнів розв’язує їх механічно, без глибокого ро зуміння сутності цих задач. У наступних класах такі задачі легк< розв’яжуться за допомогою пропорції. Але оскільки вони входят: до програми 4 класу, то ми намагалися розробити методику ї: опрацювання, найбільш доступну для учнів. Для цього ми про аналізували добірку задач даного виду, яку містить підручник дл* 4 класу і з’ясували, чому вона не дає можливості успішно засвоїтг даний вид задач. Адже задач у добірці достатньо: №№ 245, 247, 257, 263, 266, 274, 277, 295, 321, 358, 361, 634, 1008.

На нашу думку, причина в тому, що учні не пов’язують ці задачі з уже відомими їм задачами на знаходження четвертого пропорційного, а вважають їх окремим видом. Щоб створити та­кий зв’язок, потрібно на початку вивчення цих задач подати за­дачу, яку можна розв’язати двома способами: способом зведення до одиниці і способом відношень. Така задача повинна базуватися на звичній учням трійці величин, наприклад: ціна — кількість - вартість. Опрацювавши її, потрібно поступово змінювати числові дані, а потім сюжет таким чином, щоб в кінці дістати таку задачу, яка є в підручнику. Ці перехідні задачі потрібно ретельно опра­цювати з учнями, тільки тоді вони будуть готові до сприйняття, наприклад, задачі № 263. Серед наведених номерів підручника є дві задачі, які можна розв’язати двома способами (№№ 257 і 361), але вони, на жаль, з’являються пізніше.

Розглянемо роботу над перехідними задачами. Учитель скла­дає задачу на зразок такої:

За 3 кг моркви заплатили 6 грн. Скільки гривень коштувати­муть 12 кг такої моркви?

На дошці короткий запис:

Ціна	Кількість	Вартість
Однакова	3 кг	6 грн
	12 кг	?

Учні розв’язують задачу усно способом зведення до одиниці і вчитель записує отриману відповідь (24 грн.) у таблицю замість знака питання. Далі проводиться бесіда, у ході якої учні усві­домлюють, що однакова ціна 3 кг і 12 кг моркви означає, що 6 : 3 = 24 : 12 - це і є ціна моркви. Але числа можна поділити й інакше: 12 : 3 = 24 : 6 - обидві частки теж рівні. Тому для розв’язування задачі можна скористатися як першою, так і дру­гою залежністю. Перша залежність дає можливість розв’язати за­дачу способом зведення до одиниці (знаходження ціни 1 кг морк­ви), а друга - способом відношень. Цей спосіб полягає в тому, що в першій дії можна знайти, у скільки разів 12 кг більше, ніж 3 кг, або скільки разів по 3 кг вміщається у 12 кг:

1. 12 • 3 = 4 (рази).

Це означає, що шукана вартість теж у 4 рази більша, ніж 6 грн. Тому друга дія така:

2. 6-4 = 24 (грн.).

Учитель пояснює, що двома способами можна розв’язати да­леко не кожну задачу, а лише ту, у якій відповідні числа ділять­ся націло. Наприклад, якби у даній задачі замість 6 грн. взяти 2 грн., то перший спосіб був би неможливим:

Ціна	Кількість	Вартість
Однакова	3 кг	2 грн
	12 кг	?

Тут 2 грн. на 3 кг не діляться (і 200 к. на 3 кг не ділятьс отже, ціну моркви знайти не можна. Але задачу можна розв’яза другим способом - способом відношень: у скільки разів збільшш ся кількість товару, у скільки ж разів збільшилась і його вартіст

1. 12 : 3 = 4 (рази);

2. 2 ■ 4 = 8 (грн.).

Далі вчитель переходить до задачі № 263 підручника з такий самими числами (наприклад, до задачі про сиру і смажену кав\ В підручнику до таких задач подається лише спрощений коро кий запис:

З кг - 2 кг

12 кг - ?

На нашу думку, цей запис можна використовувати лише післ того, як учні засвоять сутність таких задач. А для цього варт хоча б один раз записати дані у таблицю:

Маса смаженої кави, яка припадає на 1 кг сирої	Кількість кілограмів сирої кави	Маса смаженої кави
Однакова	3 кг	2 кг
	12 кг	?

Трудність для учнів полягає в тому, що, на відміну від попе­редньої задачі, всі числові значення мають однакове найменуван­ня - кілограми. Тому, лише зіставивши її з перехідною задачею, можна пояснити назви стовпців таблиці. Звичайно, щоб до кінця прояснити спосіб розв’язання, потрібна додаткова ілюстрація.

- Уявимо, що кожний кілограм сирої кави ми насипали в ок­ремий мішечок. Покажемо на малюнку, що кожні 3 мішечки да­ють 2 кг смаженої кави:

2 кг 2 кг 2 кг 2 кг

Тепер нам видно, скільки смаженої кави вийде з 12 кг сирої: 2 + 2 + 2 + 2, або 2-4 = 8 (кг). А що означає число 4? (Стільки разів у 12 кг вміщується, по 3 кг.)

Наступну задачу № 266 про сушіння фруктів можна ілюстру­вати спрощеним коротким записом, але з додатковими нагадуван­нями:

^->100 кг - 18 кг ,,

УПразівГ )УПразів

^900 кг-?

Виконавши першу дію, знайдене число разів (9) учитель впи­сує в обидва порожніх квадратики і запитує: що ми тепер знаємо про сушені фрукти? (Що першого разу їх вийшло 18 кг, а другого - у 9 разів більше.) Така відповідь і визначає другу дію: 18 • 9.

Задачі на пропорційне ділення (II тип)

У початкових класах розглядають лише чотири види задач II типу: 1-2 види, у яких сталою є перша величина таблиці, і 3-4 види, у яких сталою є друга величина. На підготовчому сту­пені розглядаються простіші задачі (№№ 98, 707, 715):

1. 720 пензлів розклали порівну в 9 ящиків. 4 ящики відправили в один магазин, а 5 - у другий. Скільки пензлів отримав кожний магазин?

Кількість пензлів в 1 ящику	Кількість ящиків		Загальна кількість пензлів
Однакова	4			| 720
	5		7

2. До обіду робітник зібрав 4 однакових кошики винограду, а піс­ля обіду 2 таких самих кошики. Скільки кілограмів винограду вміщує один кошик, якщо всього робітник зібрав ЗО кг вино­граду?

Маса 1 кошика	Кількість кошиків	Загальна маса
Однакова - ?	4	у" ЗО кг
	2