Контрольні запитання

1. Що називають випадковим вектором, а що – випадковою функцією?

2. Які вхідні дані необхідні для моделювання випадкового вектора?

3. Розкрийте алгоритм моделювання випадкового вектора?

4. Які вхідні дані необхідні для моделювання випадкової функції?

5. Розкрийте алгоритм моделювання випадкової функції?

Лабораторна робота 4. Моделювання дискретних процесів

Мета лабораторної роботи – ознайомитись з методами моделю­вання дискретних марківських систем та ймовірнісних автоматів

Загальні положення

Моделювання дискретних марківських систем. Дискретні системи характеризуються скінченою множиною станів. Такі системи описуються марківськими процесами, а також скінченими та ймовірнісними авто­ма­тами. Визначення марківського процесу або процесу без післядії наведено у п. 1.3.2. Для моделювання однорідних марківських випадкових процесів з дискретними станами використовуються:

• набір станів S₁, S₂, …, S_n, у яких може знаходитися випадковий процес;

• матриця ймовірностей переходів P = [p_ij, ] для процесів з дискретним часом, елементи якої задовольняють умові

, ( ); ; (10.1)

• початкові ймовірності

, . (10.2)

Марківський процес називається однорідним, якщо ймовірності не залежать від кроку k переходу системи від стану S_i до S_j, тобто P_ij(k) = P_ij. Для аналізу у таких системах зручно користуватися графом станів, який відобра­жає можливі стани системи (вузли графа) і переходи між ними (дуги графа). Такий граф називається розміченим графом станів.

Якщо відома матриця ймовірностей переходів (або розміщений граф станів) і початковий розподіл (у момент часу t = 0) ймовірностей для всіх станів P_i(0), ( ), то ймовірності станів P_i(k), ( ) для будь-якого кроку переходу визначатися за формулою

, (10.3)

де – ймовірність переходу системи зі стану S_j → S_i за k кроків.

Рівняння (10.3) разом з умовою нормування утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь для розрахунку ймовірностей станів марківського процесу.

Приклад. Система складається з двох пристроїв Y₁ та Y₂. Кожен з них може знаходитися у двох станах: 0 – включений, 1 – виключений. У певні моменти часу виділені такі стани системи:

Si	S0	S1	S2	S3
y1	0	1	0	1
y2	0	0	1	1

Задана матриця ймовірностей переходів

		S0	S1	S2	S3
	S0	0	0.2	0.5	0.3
P =	S1	0.5	0	0.1	0.4
	S2	0.5	0	0	0.5
	S3	0	0.4	0.6	0

і початкові ймовірності р₀(0) = 0.8, р₁(0) = 0.2, р₂(0) = 0, р₃(0) = 0.

Визначимо ймовірності знаходження системи у станах S_i (i = 0, 1, 2, 3) у будь-які моменти часу.

Згідно з (10.3) ймовірності станів системи будуть:

• на першому кроці (k = 1):

р₀(1) = р₀(0)р₀₀ + р₁(0)р₁₀ + р₂(0)р₂₀ + р₃(0)р₃₀ = 0,1;

р₁(1) = р₀(0)р₀₁ + р₁(0)р₁₁ + р₂(0)р₂₁ + р₃(0)р₃₁ = 0,16;

р₂(1) = р₀(0)р₀₂ + р₁(0)р₁₂ + р₂(0)р₂₂ + р₃(0)р₃₂ = 0,42;

р₃(1) = р₀(0)р₀₃ + р₁(0)р₁₃ + р₂(0)р₂₃ + р₃(0)р₃₃ = 0,32;

• на другому кроці (k = 2):

р₀(2) = р₀(1)р₀₀ + р₁(1)р₁₀ + р₂(1)р₂₀ + р₃(1)р₃₀ = 0,29;

р₁(2) = р₀(1)р₀₁ + р₁(1)р₁₁ + р₂(1)р₂₁ + р₃(1)р₃₁ = 0,148;

р₂(2) = р₀(1)р₀₂ + р₁(1)р₁₂ + р₂(1)р₂₂ + р₃(1)р₃₂ = 0,258;

р₃(2) = р₀(1)р₀₃ + р₁(1)р₁₃ + р₂(1)р₂₃ + р₃(1)р₃₃ = 0,304.

Аналогічно розраховуються ймовірності станів для інших кроків. Неважко переконатися, що для k = 1, 2, ... виконується умова р₀(k) + р₁(k) + р₂(k) + р₃(k) = 1. Значення р₀, р₁, р₂, р₃ з врахуванням умови нормування визначаються з рівнянь:

Розв’язуючи таку систему рівнянь, отримаємо значення ймовірностей:

, , , .

Отже, система знаходиться у робочому стані більше 76% часу і протягом 29,1% часу будуть включені обидва пристрої Y₁ та Y₂. Протягом 23,6% часу система перебуватиме у неробочому стані. В середньому, у включеному стані перебуватиме один пристрій, оскільки р₁ + р₂ + 2р₃ = 1,055.

Суть моделювання марківських процесів зводиться до моделювання повної групи випадкових подій із використанням рівномірно розподілених випадкових чисел r_i  (0,1). Результат кожного наступного переходу залежить від попереднього стану. Процедура моделювання складається з двох етапів.

На першому етапі згідно з дискретним розподілом, заданим матрицею-рядком початкових ймовірностей Р(0), розігрується початковий стан марківського процесу S₀. Якщо виконується умова

, де , , ,

тоді будемо вважати, що на початку моделювання система знаходиться у стані S₀ = S_i.

На другому етапі поступаємо аналогічно з j-м рядком матриці Р(1). Використовуємо алгоритм моделювання повної групи подій. Отриманий результат дає номер рядка матриці Р(1) для наступного кроку моделювання. Процедура повторюється до здійснення заданої кількості кроків. Результатом моделювання є послідовність станів системи, що пов’язані між собою відповідними переходами із стану в стан.

Моделювання ймовірнісного автомата. Поняття ймовірнісного авто­мата є узагальненням математичних моделей систем, які функціонують у дискретному часі t із дискретними імовірнісними множинами вхідних Х, вихідних Y сигналів та внутрішніх станів Z. Таким чином, для опису скінче­ного ймовірнісного автомата з випадковими переходами необхідно знати:

• множину станів Z = {z₁, z₂, …, z_n} і дискретний розподіл ймовір­ностей початкових станів

, ;

• множину вхідних сигналів Х = {х₁, х₂, …, х_l} і дискретний розподіл ймовір­ностей вхідних сигналів

, ;

• функцію переходів Н за допомогою сукупності матриць ймовірнос­тей переходів

,

де – умовні ймовірності того, що за умови, що , , .

Ймовірнісний автомат із випадковими переходами функціонує наступ­ним чином. У початковий момент часу t₀ згідно з дискретним розподілом Р_і(0) в автоматі встановлюється деякий початковий стан z₀ = z_i. У момент часу t_k, k = 1, 2, … на вхід автомата поступає вхідний сигнал , значення якого формується згідно з дискретним розподілом Р_х. За значенням x_s із матриць Р(1, x_s) вибирають одну, що відповідає номеру S. За станом автомата на попередньому такті t_k-1 у стохастичній матриці вибирають єдиний рядок

.

Відповідно до дискретного розподілу ймовірностей Pz(s,i) автомат у момент часу t_k переходить у новий стан . Згідно заданої функції виходів G на виході автомата встановлюється вихідний сигнал

.

Отже, моделювання ймовірнісного автомата з випадковими переходами зводиться до розіграшу повної групи подій згідно з дискретними розподілами Pz(0), Px, Pz(s,i) і алгоритм моделювання містить такі етапи:

• моделювання випадкового початкового стану автомата;

• моделювання послідовності реалізацій випадкового вхідного сигналу;

• моделювання послідовності випадкових переходів автомата;

• визначення вихідного сигналу автомата.