3. Основні визначення та класифікація систем масового обслуговування

Системи GPSS World використовуються для дослідження дискретних і неперервних систем. Моделювання дискретних систем із стохастичним характером функціонування здійснюється у рамках теорії масового обслу­говування (ТМО) і теорії випадкових процесів. Багато моделей реальних систем будується на основі моделей масового обслуговування, які поділяються на моделі систем масового обслуговування (СМО) і моделі мереж систем масового обслуговування. Перші дослідження СМО виконані у 20-х роках минулого століття датським ученим A. Ерлангом для підвищен­ня якості обслуговування телефонних ліній.

Для пояснення одного і того ж питання у багато чисельних літератур­них джерелах теорії СМО використовуються різні терміни. Це пов’язано з прикладною областю застосування моделей СМО. Наприклад, поряд з терміном “обслуговуючий пристрій” використовуються терміни “пристрій”, “канал”, “лінія”. Сама “теорія масового обслуговування” часто називається теорією черг (в англомовній літературі – Queue Theory). Особливо важливе значення СМО посідають в інформатиці. Передусім для моделювання комп’ютерних систем, мереж передавання інформації, баз і банків даних.

Дослідження СМО поділяються на задачі синтезу і задачі аналізу. Задачі аналізу передбачають оцінку ефективності СМО за умов незмінних, наперед заданих характеристик системи. Задачі синтезу спрямовані на пошук оптимальних параметрів СМО.

Найчастіше ефективність функціонування будь-якої СМО визначається за такими показниками:

• середня кількість вимог, які система може обслужити за одиницю часу;

• середній відсоток вимог, які не були обслужені;

• ймовірність того, що вимогу буде прийнято для обслуговування;

• середній час очікування вимоги у черзі;

• закон розподілу часу очікування;

• середня кількість вимог у черзі;

• коефіцієнт завантаження пристрою для обслуговування;

• середня кількість пристроїв, зайнятих обслуговуванням.

Для визначення цих параметрів необхідно описати та задати такі харак­теристики СМО:

• вхідний потік вимог;

• дисципліни поставки вимог у чергу та вибору вимог із неї;

• правила, за якими здійснюється обслуговування;

• вихідний потік вимог;

• режими роботи системи.

1. Характеристики систем масового обслуговування

Під системою масового обслуговування розуміється об’єкт, що складається з обслуговуючої системи та системи, що обслуговується разом з правилами, які встановлюють організацію обслуговувань (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Загальна схема СМО (a, b, …, s – об’єкти обслуговування або джере­ла вимог; 1, 2, ..., n – обслуговуючі пристрої або канали обслуговування)

У системі, що обслуговується, виникають вимоги для виконання будь-яких робіт. Обслуговуюча система – це частина СМО, яка приймає вимоги та обробляє їх. Обслуговування – це перебування вимоги протягом певного часу в обслуговуючій системі. Кожна вимога (запит), що надійшли, може обслуговуватися усією системою, як єдиним цілим. Іноді обслуговуючу систему можна поділити на окремі частини, кожна з яких у будь-який момент часу здатна обслужити лише одну вимогу. Така частина називається обслуго­вуючим апаратом (обслуговуючим пристроєм, або каналом обслуговуван­ня). Отже, обслуговуюча система – це сукупність однорідних обслуговуючих пристроїв. Під однорідністю розуміємо здатність обслуговувати однакові вимоги.

Систему, що обслуговується, можна розглядати як одне ціле. Вимоги у цьому випадку виходять від всієї системи.

Інколи її можна поділити на окремі частини a, b, …, s, кожна з яких у будь-який момент часу може послати лише одну вимогу. Таку частину системи називають джерелом вимог або об’єктом обслуговування.

Система, що обслуговується, також поділяється на обслуговану та не обслуговану. Система, яка була прийнята обслуговуючою системою і запит на обслуговування якої був виконаний, називається обслугованою системою. Та система, яка поступила в обслуговувану систему, але запит на обслуговування якої не був задоволений, називається не обслуговуваною системою.

Джерело вимог називається скінченим або нескінченим залежно від того, скінчене чи нескінчене число вимог знаходиться у ньому.

Послідовність будь-яких подій за часом називається потоком. Тобто, послідовність появи вимог за часом це потік вимог. Потоки вимог поділя­ються на вхідні та вихідні. Вхідний потік – це потік вимог, що надходить в обслуговуючу систему, а вихідний – потік вимог, що залишає обслуговуючу систему. Вихідний потік може включати як обслуговані, так і не обслуговані вимоги. Останні можуть знову надходити до обслуговуючої системи.

Основною характеристикою потоку вимог є його інтенсивність  – се­ред­нє число вимог, що надходять за одиницю часу.

Часом обслуговування називається період, протягом якого вимога перебуває на обслуговувані, тобто період від початку обслуговування (а не від моменту входження вимоги у систему) і до його завершення (рис. 1.4).

Часто тривалість обслуговування вимог приймається розподіленою за експоненціальним законом, що суттєво спрощує аналітичні дослідження СМО. Це зумовлено тим, що процеси, які протікають у системах з експонен­ціальним розподілом інтервалів часу, називаються марківськими.

Рис. 1.4. Визначення часів обслуговування вимог (t₁ – час надходження вимог в обслуговуючу систему; t₂ – початок обслуговування вимоги; t₃ – завер­шення обслуговування вимоги; t_оч = t₂ - t₁ – час очікування обслуговування; t_обс = t₃ – t₂ – час обслуговування; t_пер = t₃ - t₁ – час перебування вимоги у обслуговуючій системі).

Величина, обернена середньому часу обслуговування, характеризує середнє число вимог, яке може бути обслужено за одиницю часу, і називається інтенсивністю або швидкістю обслуговування . Вимоги, які поступають на вхід СМО, можуть знаходитися у двох станах:

• в стані обслуговування (в обслуговуваній системі);

• в стані очікування (у накопичувачі), якщо усі канали обслугову­вання зайняті обслуговуванням інших вимог (рис.1.5).

Рис. 1.5. Структурна схема СМО

Накопичувач (буфер) – це сукупність місць для очікування вимог, які мають обслуговуватися. Накопичувачі характеризуються не часом обслуговування вимог, а ємністю – максимально можливою кількістю місць для очікування вимог.

Вимоги, які знаходяться у накопичувачі та очікують обслуговування, створюють чергу вимог. Кількість вимог, які очікують обслуговування у накопичувачі, визначають довжину черги.

Важливим є те, що характер потоку вимог і час їх обслуговування мають випадковий характер. Це означає, що у будь-які періоди часу на вхо­ді СМО може накопичуватися надто велике число вимог з різними інтен­сив­ностями _i. Вони стають у чергу О_і з числом місць m_i (довжиною черги), або залишають СМО не обслугованими, утворюючи потік відхилень інтен­сив­­ніс­тю ₀ (рис 1.5). Тоді в інші періоди СМО буде працювати з недо­ван­тажен­ням або взагалі простоювати. Вимоги можуть бути як зовнішні, так і внут­рішні. Внутрішні вимоги можуть виникати у момент закінчення операції.

Обслуговування вимог здійснюється сукупністю n (₁, ₂, …, _n) у загальному випадку різнотипних пристроїв (каналів, серверів). Необхідно знати функцію розподілу часу обслуговування та інтервалу часу між вимогами.

Процес просування вимог від входу до виходу СМО відбувається за деякими правилами (алгоритмами), що задаються дисциплінами черги (очікування) (D₁) та дисциплінами обслуговування (D₂).

Мережею систем масового обслуговування називають сукупність взаємозв’язаних СМО з функціонуючими вимогами (рис. 1.6, а). Основними елементами мережі СМО є вузли (V) і джерела вимог (DV). Вузли – це окремі СМО. Джерела вимог – це генератори вимог, які поступають у мере­жу і вимагають обслуговування у вузлах мережі. За допомогою мережевих СМО моделюють різні типи обчислювальних, технологічних, транспортних та інших систем.

Дослідження мережевих систем є набагато складнішим, ніж окремих СМО. Тут може використовуватися теорія ймовірнісних мереж, зокрема операційний аналіз [10,12]. У загальному випадку мережеву СМО можна зобразити у вигляді орієнтованого графа, вершини якого відповідають вузлам мережі СМО, а дуги відображають переходи вимог між вузлами (рис.1.6, б).

Рис. 1.6. Мережа систем масового обслуговування