19.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом распределения

Х	х1	х2	…	хn
р(Х=хk)	р1	р2	…	рn

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

.

Для бесконечной случайной величины: .

Можно показать, что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений близко к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание случайной величины Х называется центром распределения вероятностей случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. M[C]=C, где С=const.

2. M[CX]=C·M[X].

3. Для независимых случайных величин Х и У М[XY]= M[X] · M[Y].

4. Для любых случайных величин Х и У М[X+Y]= M[X] + M[Y].

2. Дисперсия дискретной случайной величины

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Определение. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D[X]= M[X²] – (M[X])².

Свойства дисперсии

1. D[C]=0, где С=const.

2. D[CX]=C²·D[X].

3. Для независимых случайных величин Х и У D[X+Y]= D[X] + D[Y].

В частности, из свойств дисперсии следует, что

D[С+Х]= D[X]

D[X - Y]= D[X] + D[Y].

Определение. Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Примеры решения типовых задач

1. Случайная величина Х задана следующим законом распределения:

Х	2	3	4
р	0,3	0,4	0,3

Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Решение:

M[X]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;

D[X]=(2 – 3)²·0,3+(3 – 3)²·0,4+(4 – 3)²·0,3=0,6;

.

2. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения: Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z.

Х	–1	0	1		Y	–2	0
р	0,2	0,3	0,5		р	0,3	0,7

Решение:

Используя свойства математического ожидания

Найдем математическое ожидание Z:

Подставляя в формулу найденные значения М(Х) и М(Y)

получим:

Используя свойства дисперсии, получим:

Найдем дисперсию по формуле:

D[X]= M[X²] – (M[X])².

Тогда

Аналогично посчитаем: D[Y]= M[Y²] – (M[Y])².

Найдем среднее квадратическое отклонение по формуле:

Раздел XI.Выборочный метод

Глава 21. Выборочный метод

21.1. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Для этого из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Определение. Вся исследуемая совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.

Определение. Исследуемая совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или выборкой.

Необходимость статистического исследования с помощью выборки объясняется тем, что:

1) исследование всей генеральной совокупности трудоемко и приводит к большим затратам средств и времени или практически неосуществимо;

2) иногда исследование всех объектов генеральной совокупности приводит к их порче. (Например, исследование всех электрических лампочек на продолжительность горения).

Определение. Метод основанный на том, что по данным обследования выборки из данной ген. совокупности, делается заключение о всей ген. совокупности, называется выборочным методом.

Определение. Число объектов ген. совокупности называют объемом генеральной совокупности, и обозначается N.

Определение. Число объектов выборочной совокупности называют объемом выборки, и обозначается n.

Замечание. Объем выборочной совокупности значительно меньше объема генеральной совокупности. (n<<N).

Например. На заводе производят обследование на стандартность изготавливаемых деталей. Для этого из 1000 деталей выбирают для обследования 100 деталей. Здесь , а .

При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение он может быть либо возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии с этим выборку выделяют выборку повторную и бесповторную.

Определение. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность.

Определение. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект после исследования в генеральную совокупность не возвращается.

На практике чаще пользуются бесповторной выборкой.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно ее представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование к выборке называют репрезентативностью.

Выборка будет являться репрезентативной, если ее осуществлять случайно, то есть каждый объект выборки может с одинаковой вероятностью попасть в нее.

Способы составления выборки

1) простой (случайный) – отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности;

2) механический – отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Например, если нужно отобрать 20% готовых деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь, а если 5% -то каждую двадцатую.

3.) типический - отбор при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.

Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.