Пример решения типовой задачи

В таблице представлено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х (%) и стоимости Y (тыс. руб):

Х \ У	3-9	9-15	15-21	21-27	27-33	Более 33	итого
20-30				2	5	2	9
30-40			4	8	4	3	19
40-50			4	10	20	10	44
50-60		5	36	23	6		70
60-70		12	11	11			34
70-80	6	10					16
80-90	8						8
Итого	14	27	55	54	35	15	200

Необходимо:

1. Вычислить условные средние и и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

Решение:

Найдем условные средние по формулам

и .

, - середины соответствующих интервалов.

Найдем середины интервалов и запишем в таблицу:

Х \ У	6	12	18	24	30	36	итого
25				2	5	2	9
35			4	8	4	3	19
45			4	10	20	10	44
55		5	36	23	6		70
65		12	11	11			34
75	6	10					16
85	8						8
Итого	14	27	55	54	35	15	200

2а). Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы. Для удобства их вычислений составим расчетные таблицы.

6	14	84	504	80,714	6778,8
12	27	324	3888	66,852	21675,6
18	55	990	17820	54,812	54261,9
24	54	1296	31104	51,11	66238,56
30	35	1050	31500	42,714	44847,6
36	15	540	19440	40,33	21778,2
∑		4284	104256	-	215580

25	9	225	5625	30	6750
35	19	665	23275	25,895	17223,5
45	44	1980	89100	28,909	57239,82
55	70	3850	211750	20,571	79198,35
65	34	2210	143650	17,823	39388,83
75	16	1200	90000	9,75	11700
85	8	680	57800	6	4080
∑		10810	621200	-	215580

Тогда уравнение линейной регрессии у на х, будет иметь вид

,

или

Тогда уравнение линейной регрессии х на у, будет иметь вид

,

или

Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

2б). Находим коэффициент корреляции

Так как , то связь между рассматриваемыми признаками высокая, и так как , то связь обратная.

Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, то есть проверим гипотезу и

.

Воспользуемся t - критерием Стьюдента, найдем и :

.

Так как , , то

.

Таким образом, так как , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и обратная.

2в). Для нахождения корреляционных отношений найдем средние квадратические отклонения для условных средних и по формулам

,

.

Получим

;

.

Тогда ; .

Корреляционное отношение показывает, что признак зависит от влияния признака , а отношение показывает, что признак зависит от влияния признака .