Тема 12. Проверка статистических гипотез Лекция 25 Критерий значимости проверки статистических гипотез при принятии решений

Говоря об основных задачах математической статистики, мы уже отмечали, что наряду со статистической оценкой параметров, задачи проверки гипотез составляют один из важнейших разделов математической статистики. Далее мы увидим, что оба этих раздела математической статистики тесно взаимосвязаны.

Поскольку на практике, как следует из предыдущего раздела, мы имеем дело с выборочными данными, характеризующими реальный процесс или систему, то, вообще говоря, основные выборочные характеристики будут различны. Возникает вопрос: создается ли различие сравниваемых выборочных характеристик случайными колебаниями или оно обусловлено действительным их различием.

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, выдвигают гипотезу (предположение) о том, что исследуемые характеристики не отличаются. Гипотезу называют нулевой гипотезой.

Так как отклонение R одной выборочной характеристики от другой является случайной величиной, то оно имеет вполне определенное распределение (оно либо известно, либо им задаются). По этому распределению определяют предельные значения отклонений . Если мера отклонения исследуемых характеристик, определенная по результатам наблюдений (эксперимента), не превышает это критическое значение, то считают, что характеристики одинаковы. Критерий проверки обычно выбирают таким, чтобы вероятность P = ε отвергнуть гипотезу была малой, когда гипотеза верна, т.е.

.

Такую вероятность ε называют уровнем значимости (или когда ее выражают в процентах, – процентным уровнем значимости). Отвечающую ей область больших отклонений называют критической областью, а само правило проверки – критерием значимости.

Проверка гипотезы осуществляется следующим образом.

1.Задаются уровнем значимости, отвечающим событиям, которые при действии реального комплекса условий исследований считаются

(с некоторым риском) практически невозможными.

2. Определяется критическое отклонение по соответствующему распределению с вероятностью, равной ε.

3. Если значение меры отклонения R, вычисленное по данным наблюдений, окажется больше критического значения , то мы бракуем гипотезу , так как это событие практически невозможно. В том случае, если оно меньше, то можно утверждать, что принимаемая гипотеза не противоречит результатам наблюдений (эксперимента).

Следует отметить, что статистическая проверка гипотезы относительно некоторой совокупности экспериментальных данных сама по себе не дает доказательств, правильна или ложна эта гипотеза. Подобная проверка указывает лишь на степень согласия гипотезы с результатами эксперимента. Мы можем признавать допустимость гипотезы по крайней мере до тех пор, пока более обстоятельные исследования (например, по большему материалу или с помощью других критериев) не приведут нас к противоположному заключению.

Поскольку выборка результатов наблюдений состоит из конечного, зачастую даже из малого количества наблюдений, по которым мы судим о процессе в целом, то существует риск допустить ошибку, т.е. риск ложного суждения. Такой риск уменьшается с возрастанием числа наблюдений, но существует всегда. Оценить же вероятность того, что гипотеза будет принята, если она не верна, вообще говоря, невозможно, так как для этого необходимо рассмотреть все прочие (альтернативные) гипотезы, число которых может быть бесконечным. Поэтому, если ε достаточно мало, то мы вправе на практике (на основе принципа практической уверенности) исключить возможности редких событий.

Обычно в качестве практически невозможных событий принимают такие события, вероятность которых не превышает ε = 0,05 – 0,01. Дозволенная степень риска, связанная с пренебрежением событий с малой вероятностью, обусловливается практической важностью последствий, вытекающих из наступления таких событий, и диктуется конкретными требованиями к задачам оценки характеристик процессов и систем. Если в одних случаях считается возможным пренебречь событиями, имеющими вероятность появления меньше 0,05, то в других, например, когда идет речь об успешной посадке пассажирского самолета, нельзя пренебрегать обстоятельствами, которые могут появиться с вероятностью равной .

Следует отметить, что чем меньше выбирается уровень значимости ε, тем меньше возможность забраковать гипотезу, когда она верна, или, как говорят, совершить ошибку первого рода. В то же время с уменьшением уровня значимости (с расширением области допустимых значений) увеличивается вероятность принятия проверяемой гипотезы, когда она не верна, т.е. увеличивается вероятность ошибки второго рода.