Лекция 16 предельные теоремы теории вероятностей

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли. При неограниченном числе независимых опытов

n → ∞ частота появления события А: = m/n ( m -число появления события А ) сходится по вероятности к его вероятности p:

.

Доказательство. Пусть – дискретная случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией , характеризующая появление события А в i-м опыте, закон распределения которой определяется рядом

	0	1
	1 – p = q	p

где означает, что событие А не произошло, а означает, что событие А произошло. Определим и :

;

.

Таким образом, – ограничены.

Так как , то по теореме Чебышева

или .

Теорема Бернулли используется в практических приложениях для обоснования замены вероятностей событий частотой их появления. Однако необходимо отметить, что теорема Бернулли не позволяет утверждать, что неравенство будет выполняться для доста-точно больших чисел n. Она лишь утверждает, что выполнение такого неравенства при достаточно большом числе n будет очень вероятным.

Теорема Пуассона

Теорема Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. При переменных условиях опыта свойство устойчивости частоты доказывается теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона. При неограниченном числе независимых опытов n → ∞ частота появления события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей появления события А в i-м опыте, т.е.: .

Доказательство. Появление события А в i-м опыте характери-зуется законом распределения, который определяется рядом

	0	1
	1 – =

где означает, что событие А не произошло, а означает, что событие А произошло. Определим и :

,

.

Таким образом, случайная величина удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Чебышева.

Принимая во внимание, что , .

По обобщенной теореме Чебышева получим

, или ,

что завершает доказательство.

Лекция 17 центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема утверждает, что каковы бы ни были распределения независимых случайных величин , сумма этих величин при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределения (асимптотически нормальна) с математическим ожиданием и дисперсией , определяемыми соотношениями

, .

Эта фундаментальная теорема впервые была сформулирована еще в 1812 г. Лапласом. Строгое доказательство при довольно общих условиях было сделано Ляпуновым (1901 г.). Проблема нахождения общих условий решена Феллером, Хинчиным и Леви. Докажем эту теорему для одного из частных случаев, достаточного для большинства приложений в статистике.

Рассмотрим случай, когда имеют одинаковое распределение и моменты первого и второго порядка m и . В этом случае , а , и нормированная величина t может быть записана в виде:

.

Обозначим через характеристическую функцию величины , а через –характеристическую функцию величины . Тогда имеет место

.

Разложим в ряд Маклорена:

,

где – величины выше второго порядка малости, которые для каждого фиксированного u стремятся к нулю при n → ∞.

Определим слагаемые ряда Маклорена:

Тогда с точностью до величин второго порядка малости получим:

и .

Рассмотрим предел

.

Это означает, что при любом u. Так как для нормального распределения случайной величины с плотностью распределения

характеристическая функция имеет вид

,

то есть характеристическая функция нормированной нормальной случайной величины с функцией распределения

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, распределение вероятностей суммы независимых случайных величин, имеющих одинаковые законы распределения, стремится к нормальному закону распределения при любом законе распределения слагаемых.

Итак, мы рассмотрели частный случай центральной предельной теоремы, которая была доказана Линдебергом и Леви, и которая формулирована следующим образом.

Если независимые случайные величины (i = 1,…n) имеют одно и то же распределение вероятностей и если каждая случайная величина имеет среднее значение m и стандартное отклонение , то сумма асимптотически нормальна с параметрами m и . Соответственно среднее арифметическое асимптотически нормально с параметрами и .

Эта теорема справедлива и для общих условий, сформулированных, например, Ляпуновым и другими.