Тема 9. Первичный статистический анализ результатов измерений случайной величины Лекция 18 Основные понятия математической статистики
Математическая статистика занимается статистическим анализом результатов опытов или наблюдений, а также построением и проверкой подходящих математических моделей процессов и систем на основе результатов экспериментов.
Статистический
анализ и
построение вероятностных
моделей
процессов и систем основаны на том, что
измеряемые в процессе опыта или наблюдений
физические (или иного смысла) величины
X
, характеризующие исследуемый процесс
или систему, при повторении опытов
подвержены некоторому неконтролируемому
разбросу
.
Этот разброс обусловлен главным образом
действием случайных неучтенных факторов
и ошибками измерений. Поэтому величина
X
рассматривается как одномерная случайная
величина, а результаты измерения
этой величины, называемые в математической
статистике ее основными признаками,
–как эмпирическая реализация этого
математического понятия.
Совокупность всех мыслимых значений, которые может принимать величина X при данном реальном комплексе условий, называют генеральной совокупностью. Распределение признака X в генеральной совокупности совпадает с теоретическим распределением вероятностной величины X. Последнее называется распределением генеральной совокупности, а его параметры – параметрами генеральной совокупности.
Генеральная совокупность может быть конечной (всего N мыслимых наблюдений) и бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность всех мыслимых значений.
Выборка из данной генеральной совокупности – это результаты ограниченного ряда наблюдений значений случайной величины X.
Таким образом, выборку можно рассматривать как некий эмпирический аналог генеральной совокупности. На практике при исследованиях мы чаще всего имеем дело с выборками, поскольку обследование всей генеральной совокупности бывает слишком трудоемко (когда n – достаточно большое число), либо принципиально невозможно (в случае бесконечных генеральных совокупностей).
Число n наблюдений, образующих выборку, называют объемом выборки.
Разность
между наибольшим и наименьшим значениями
из выборки называется размахом
выборки.
Каждая
выборка
значений X
представляет собой, вообще говоря,
случайную выборку из теоретически
бесконечной генеральной
совокупности.
Поэтому выборочные значения
признака X
рассматривают также как реализации
независимых случайных величин
,
распределение признаков которых
в генеральной совокупности совпадает
с теоретическим распределением
вероятностной величины X.
В этом случае
представляют собой взаимно
независимые случайные величины
с одинаковой плотностью распределения
p(x)
случайной величины X. К
основным задачам математической
статистики относятся:
определение закона распределения основного признака (наблюдаемой случайной величины);
нахождение оценок неизвестных параметров распределений и оценок числовых характеристик случайной величины;
проверка правдоподобия статистических гипотез;
оптимальная организация и проведение экспериментов и оптимальная обработка результатов экспериментов.