Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2014 Конспект лекций Медведева Роднищев Теория...doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
2.18 Mб
Скачать

6.6. Распределение "хи-квадрат"

Пусть (i = 1,...,n) – система независимых нормированных нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным нулю, и единичной дисперсией.

Тогда случайная величина χ , представляющая собой сумму квадратов этих величин, χ = распределена по закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы. Если на величины (i = 1,...,n) наложено r связей, то число степеней свободы k = n – r.

Плотность этого распределения определяется выражением

p (χ ) (χ ) exp(–χ /2), 0 ≤ χ < ∞ ,

где гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода). В частности, Г(n +1) = n! .

Из определения плотности вероятности распределения χ следует, что распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром: числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» медленно приближается к нормальному. При k = n > 30 χ –распределение достаточно хорошо представляется нормальным законом с M[χ ] = n и D[χ ] = n. На (рис.6.12) показано, как изменяется характер распределения «хи-квадрат» при увеличении числа степеней свободы k.

6.7. Распределение Стьюдента

Пусть случайные величины Z, подчинены нор-мальному закону распределения с нулевым средним и произвольной дисперсией. Пусть далее величина Z не зависит от , и среди имеется ровно k линейно независимых величин. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента

(t-распределение) (рис.6.13) с функ-цией плотности распределения

.

Заметим, что t-распределение не зависит от . Величина t, определенная для нормированных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией также распределена по закону Стьюдента.

Распределение Стьюдента симметрично относительно начала координат. С возрастанием числа степеней свободы быстро приближается к нормальному распределению. Для нормированных случайных величин распределение Стьюдента приближается к нормальному закону с характеристиками:

M[t ] = 0 и D[t ] = .

6.8. F-распределение Фишера

Е сли X и Y – независимые случайные величины, распределенные по закону «хи-квадрат» со степенями свободы и , то величина

имеет F-распределение Фишера со степенями свободы и . Плотность этого распределения (рис.6.14) определяется выражением

.

Таким образом, F-распределение Фишера характеризуется двумя параметрами – числами степеней свободы и .

Тема 3. Случайные векторы. Законы распределения и числовые характеристики Лекция 7 Системы случайных величин (случайные векторы)

Понятие о системе случайных величин

В практических приложениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается двумя или более случайными величинами, образующими систему или вектор. Например, при стрельбе группой из п выстрелов совокупность точек попадания на плоскости может рассматриваться как система 2n случайных величин: п абсцисс и п ординат точек попадания. Условимся систему нескольких случайных величин называть случайным вектором и обозначать Х= (X1, Х2,...., Хn).

Свойства системы случайных величин (или случайного вектора) не исчерпываются свойствами отдельных компонент: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными компонентами.

При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин (X,Y) можно изображать случайной точкой на плоскости с координатами X и Y (рис. 7.1.1). Аналогично система трех случайных величин может быть изображена случайной точкой в трехмерном пространстве. Часто бывает удобно говорить о системе п случайных величин как о «случайной точке в пространстве п измерений». Вместо образа случайной точки для геометрической интерпретации системы случайных величин пользуются образом случайного вектора. Систему двух случайных величин при этом рассматривают как случайный вектор на плоскости хОу, составляющие которого по осям представляют собой случайные величины X, Y (рис. 7.1.2).

При этом теория систем случайных величин рассматривается как теория случайных векторов.

В данном курсе мы будем в зависимости от удобства изложения пользоваться как одной, так и другой интерпретацией.

Занимаясь изучением свойств случайных векторов, мы будем рассматривать как полные, исчерпывающие вероятностные характеристики — законы распределения, так и неполные — числовые характеристики.

Изложение начнем с наиболее простого случая системы двух случайных величин(двухмерного случайного вектора).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]