Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

Кафедра прикладной математики и информатики им. Ю.В. Кожевникова

Н.Е. РОДНИЩЕВ, С.Н. МЕДВЕДЕВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Конспект лекций

Казань 2008

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Случайные события…………………………………………………………….4

Лекция 1. Основные понятия и определения теории вероятностей ………….….4

Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей ………………………….….17

Лекция 3. Основные формулы вычисления вероятностей сложных событий …25

Тема 2. Случайные величины и их распределения......…………………………..…..31

Лекция 4. Закон распределения случайной величины ………………………...…31

Лекция 5. Числовые характеристики случайных величин ..……………………..39

Лекция 6. Основные дискретные и непрерывные распределения .…………..…48

Тема 3. Случайные векторы. Законы распределения и числовые характеристики …………………………………………………………………………………………...63

Лекция 7. Системы случайных величин (случайные векторы) ………………….63

Лекция 8. Система произвольного числа случайных величин ..……………...….73

Лекция 9. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения …………………………………………..…………78

Тема 4. Зависимые и независимые случайные величины………………………………..….82

Лекция 10. Зависимые и независимые случайные величины …………………………...82

Тема 5. Законы распределения функций случайных аргументов ……………………….....88

Лекция 11. Закон распределения функции одного случайного аргумента ….….88

Лекция 12. Числовые характеристики функций случайных величин ……...…...98

Тема 6. Характеристические функции ………………………………………………104

Лекция 13. Характеристические функции ……………………………………….104

Тема 7. Случайные последовательности и их сходимость ………………………...107

Лекция 14. Виды сходимости последовательностей случайных величин …….107

Тема 8. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема ………………...115

Лекция 15. Предельные теоремы теории вероятностей…………………………115

Лекция 16. Предельные теоремы теории вероятностей ………………………...119

Лекция 17. Центральная предельная теорема……………………………………121

Тема 9. Первичный статистический анализ результатов измерений случайной величины ……………………………………………………………………………...125

Лекция 18. Основные понятия математической статистики……………………125

Лекция 19. Полигон частот и гистограмма ……………………………………...129

Тема 10. Точечное оценивание параметров распределений случайных величин...133

Лекция 20. Точечные оценки параметров распределений ……………...………133

Лекция 21. Метод максимального правдоподобия………………………………138

Лекция 22. Метод наименьших квадратов……………………………………… 145

Тема 11. Интервальное оценивание параметров распределений случайных

величин …………………………………………………………………...…………...152

Лекция 23. Построение интервальных оценок параметров распределений…………………………………………………………………………152

Лекция 24. Построение интервальной оценки для математического ожидания и дисперсии……………………………………………………………………………...155

Тема 12. Проверка статистических гипотез ……………………………………..….160

Лекция 25. Критерий значимости проверки статистических гипотез при принятии решений ……………………………………………………………….….160

Лекция 26. Критерии согласия ……………………………………….…………..166

Лекция 27. Критерии согласия ………………………………………….………..172

Тема 13. Дисперсионный анализ …………………………………………………….176

Лекция 28. Однофакторный дисперсионный анализ …………………………...176

Лекция 29. Двухфакторный дисперсионный анализ ……………………………183

Тема 14. Корреляционный анализ …………………………………………………...186

Лекция 30. Корреляционный анализ ……………………………………………..186

Тема 15. Регрессионный анализ ……………………………………………………..196

Лекция 31. Построение регрессионных зависимостей процессов и систем на основе обработки результатов экспериментов ……………………………………..196

Лекция 32. Оценка значимости параметров модели и доверительного интервала …………………………………………………………………...………....205

Лекция 33. Построение моделей на основе планирования экспериментов……213

Лекция 34. Проверка адекватности модели полного факторного эксперимента ………………………………………………………………………….224

Список литературы……………………………………………………………………225

Раздел 1. Лекции

Тема 1. Случайные события

Лекция 1

Введение

Цель настоящего курса состоит в изложении основ теории вероятностей и математической статистики.

В разделе теории вероятностей излагаются: основные понятия вероятности, основные теоремы вероятностей, случайные величины, характеристики случайных величин, основные законы распределения случайных величин. Рассматриваются основные предельные теоремы и показана их роль для практических приложений.

В разделе математической статистики рассматриваются основные статистические оценки случайных величин и их доверительные интервалы, вопросы статистической проверки гипотез, построение регрессионных моделей процессов и систем на основе методов наименьших квадратов и теории оптимального планирования экспериментов.

Предмет теории вероятностей

Современная теория вероятностей – раздел математической науки, изучающей закономерности случайных явлений. Случайное явление – это такое явление, которое при многократном повторении при одних и тех же условиях протекает каждый раз несколько по-иному. Как математическая наука теория вероятностей возникла, развивалась и развивается из потребностей практики и в абстрактной форме отражает закономерности, присущие объективным случайным явлениям массового характера. Поэтому методы теории вероятностей используются только для исследования случайных массовых явлений.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных областях естествознания и техники. Например, в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи, передачи информации и во многих других теоретических и прикладных науках.

Теория вероятностей является основанием для математической и прикладной статистики, которые используются при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном контроле качества продукции и для многих других целей.

Таким образом, теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений наблюдаемых при многократном повторении опыта.

Основные понятия и определения теории вероятностей

Событие – это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате эксперимента.

Опыт – воспроизведения какого-либо комплекса условий для наблюдения исследуемого явления (события).

Другими словами, эксперимент (испытание, опыт) – это воспроизведение определенной совокупности событий и наблюдение последствий этого воспроизведения.

Пример 1. Событие А – появление герба при бросании монеты.

Событие В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты.

Событие D – отказ m изделий за время Т при испытании n изделий.

Событие C – отказ i-го изделия в момент времени t.

Воспроизведение определенной совокупности событий называют условиями эксперимента (испытания, опыта). Будем обозначать условия эксперимента через Q .

События, которые появляются или не появляются после воспроизведения условий Q называются исходами.

Пример 2. Пусть опыт состоит в бросании игрального кубика и наблюдения числа выпадающих очков – Х

{Х=1} {Х=2} … {Х=6}

{X – четное} = { } = А

{ } = { } = B

{2 < X < 5} = { } = C

Элементарными событиями называется возможные исходы опыта ( ).

Пространством элементарных событий в опыте называется совокупность всех элементарных событий ( ).