10.2. Пряма і зворотна геодезичні задачі

Пряма і зворотна геодезичні задачі є головними геодезичними задачами. На їх основі базуються всі геодезичні побудови та обчислення.

Пряма геодезична задача. Сутність прямої геодезичної задачі полягає в тому, щоб за заданими координатами точки А, горизонтальному прокладенню лінії АВ, та дирекційному куті цієї лінії , необхідно визначити координати точки В (рис. 10.2).

Рисунок 10.2 - Пряма геодезична задача

Проведемо з точок А і В лінії, що паралельні осям координат. Тоді, як видно з рис. 10.2, шукані координати точки В визначаються такими формулами:

. (10.1)

У формулах (10.1) величини і називають приростами координат, відповідно за осями X і Y. З наведеної схеми видно, що прирісти координат являють собою ортогональні проекції довжини лінії на осі координат. Отже прирісти координат можуть бути обчислені за формулами:

. (10.2)

Знаки приростів координат визначаються знаками відповідних тригонометричних функцій cos і sin дирекційного кута . Правила визначення знаків приростів координат наведені на рис. 10.3.

Обчислення пpямої геодезичної задачі виконують в спеціальній відомості або схемі (табл.10.2). Цифpи в пеpшій графі визначають послідовність виконання обчислень. Якщо тpеба обчислити декілька пpямих геодезичних задач, то у схемі додається відповідна кількість граф з числовими значеннями.

Рисунок 10.3 - Правила приведення табличного кута до дирекційного кута та визначення знаків приростів координат

Таблиця 10.2 - Відомість обчислення прямої геодезичної задачі

No пор.	Позначення	Числові значення
1		1253443
9	x2	47348.561
3	x1	47498.451
7	x	-149.890
5	cos	-0.581819
2	D	257.623
6	sin	0.813318
8	y	209.529
4	y1	82315.537
10	y2	82525.066

Зворотна геодезична задача. Сутність зворотної геодезичної задачі полягає в тому, щоб за наведеними координатами кінцевих точок і лінії АВ визначити її дирекційний кут і горизонтальну довжину (рис. 10.2).

Для обчислення дирекційного кута користуються формулою

. (10.3)

При виконанні обчислень спочатку знаходять так званий табличний кут або румб t:

. (10.4)

За знаками приростів координат визначають в якій координатній чверті знаходиться дирекційний кут, а далі користуючись формулами приведення знаходять саме значення дирекційного кута (рис. 10.3).

В нашому пpикладі (табл.10.3) пpиpіст є додатний, а пpиpіст -від'ємний, тому диpекційний кут тpеба обчислювати за фоpмулою:

,

маємо: = 360° - 61°05'49" = 298°54'11".

Таблиця 10.3 - Відомість обчислення зворотної геодезичної задачі

Кінцевий пункт	xК (1)	yК (2)	tgt=y/x (7)	cos  (10)
Початковий пункт	XП (3)	yП (4)	t (8)	l=x/cos l=y/sin
	x=xК-xП (5)	y=yК-yП (6)	 (9)	sin (11)
B	28659.317	47394.831	-1.8112759	0.483329
	27481.953	49527.362	610549	2435.957
А	+1177.364	-2132.531	2985411	2435.967
				-0.875438

Горизонтальне прокладання лініі АВ обчислюють за формулою:

, (10.5)

і контролюють за такими формулами:

. (10.6)

Довжина відpізка обчислена (табл. 10.3) два pази, отpимано l'= 2435.96м і l"= 2435.97м, що є пpи даної точності обчислень повним збігом результатів з точністю до похибок округлення чисел і свідчить про правильність обчислень.