Тема 2.7 Устойчивость сжатых стержней

Устойчивостью элемента конструкции называется его способность сохранять заданную форму (обычно прямолинейную) под действием обычно сжимающей нагрузки.

Наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы F_кр, до которого прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критической силой.

Выражение для определения критической силы, называемое формулой Эйлера, имеет вид:

, где π = 3,14; Е – модуль продольной упругости; J_min – минимальный осевой момент инерции; μ – коэффициент, зависящий от способов закрепления концов стержня, l – длина стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называют критическим.

, где - минимальный радиус инерции.

Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции его поперечного сечения по предложению проф. Ф.С.Ясинского называют гибкостью стержня . Это безразмерная геометрическая характеристика сжатого стержня зависит от размеров стержня. Используя понятие гибкости λ стержня, получаем следующую окончательную формулу для критического напряжения: . Полученные формулы для определения критической силы и критического напряжения справедливы в пределах упругости, когда напряжения σ_кр в материале, вызванные критической силой, не превышают предела пропорциональности: σ_кр σ_пц . Подставим σ_пц , выразим . Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим , и назовем предельной гибкостью. В отличие от гибкости стержня, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.

Формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость рассчитываемого стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен, т.е. λ λ_пред .

В зависимости от гибкости сжатые стержни условно делят на три категории:

1. Стержни большой гибкости (λ λ_пред), для которых расчет на устойчивость ведется по формуле Эйлера и .

2. Стержни средней гибкости ( λ_о λ < λ_пред ), рассчитываемые на устойчивость по эмпирической формуле Ф.С.Ясинского и .

3. Стержни малой гибкости (λ < λ_о), рассчитываемые не на устойчивость, а на прочность. Для них критическое напряжение считается постоянным: σ_кр = σ_Т , или σ_кр = σ_пчс.

Проверочный расчет стержня на устойчивость заключается в определении фактического коэффициент запаса устойчивости n_у и сравнивается с допускаемым его значением [n_у]:

, где F_кр – критическое значение сжимающей силы для рассчитываемого стержня, F –фактическое значение сжимающей нагрузки.

Ответь на вопросы для повышения рейтинга, используя материал темы 2.7:

1. Что называется устойчивостью элемента конструкции?

2. Что может произойти со стержнем, длина которого значительно больше поперечных размеров, если увеличить сжимающую силу?

3. Что называется критической силой применительно к центрально сжимаемому стержню?

4. Какой вид имеет формула Эйлера для критической силы при различных случаях закрепления концов стержня?

5. Какие механические характеристики материала надо знать, чтобы определить критическую силу сжатого стержня?

6. Что такое гибкость стержня, и от каких факторов она зависит?

7. Что такое предельная гибкость, и от каких факторов она зависит?

8. При какой гибкости стержня применима формула Эйлера для подсчета критической силы?

9. Как рассчитываются сжатые стержни в случае неприменимости формулы Эйлера?

10. На какие категории в зависимости от гибкости делятся сжатые стержни?

11. Как выполняется проверочный расчет сжатого стержня на устойчивость?

12. Рациональная форма поперечных сечений сжатых стержней?

13. Задача 25. Как изменится гибкость стержня, если изменить материал стержня? Почему?

14. Задача 26. Как изменится гибкость стержня, если длину стержня увеличить в два раза? Почему?

15. Задача 27. Как изменится критическая сила, если диаметр стержня уменьшить в два раза? Почему?

16. Задача 28. Как изменится критическая сила, если длину стержня уменьшить в два раза? Почему?

17. Задача 29. Как изменится предельная гибкость стержня, если длину стержня увеличить в два раза? Почему?

18. Задача 30. Проверить устойчивость стойки (рис.1), выполненной из стали марки Ст.3 (Е = 2 ·10⁵ МПа, σ_пц = 200 МПа), если нормативный коэффициент запаса устойчивости [n] = 4,2.

Рис.1 Условие задачи

Решение: Вид расчета - проверочный.

Условие устойчивости стойки

n _у = [n_у]

Прежде, чем вычислить критическую силу, надо выяснить, применима ли формула Эйлера. Условие применимости формулы Эйлера .

Гибкость стержня определяется по формуле:

Радиус инерции =

Момент инерции

Предельная гибкость для стали марки Ст.3

Условие применимости формулы Эйлера выполняется .

Критическая сила

Коэффициент запаса устойчивости

Вывод: