2.6.4. Методы интегрирования.

2.6.4.1.Метод интегрирования по частям

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

Формула мало чем отличается от формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Добавляются только пределы интегрирования.

Примеры.

а) Вычислить определенный интеграл

Решение.

1. Найдем неопределенный интеграл, интегрируя по частям:

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

b) Вычислить интеграл .

Решение.

с) Вычислить интеграл .

Решение.

d) Вычислить интеграл .

Решение.

2.6.4.2.Метод подстановки

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.

Примеры.

а) Вычислить определенный интеграл

Решение.

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:  . Но в табличном интеграле под корнем x² , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Поэтому совершенно естественно напрашивается замена: t=x²

Находим новые пределы интегрирования.

Сначала подставляем в выражение замены t=x² нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены t=x² верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

b) Найти определенный интеграл методом замены переменной

Решение.

Проведем замену переменной:

Новые переделы интегрирования:

c) Найти определенный интеграл методом замены переменной

Решение.

Проведем замену переменно:

Новые пределы интегрирования:

2.6.5. Интегрирование четной и нечетной функции

Если f(x) четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то .

Если f(x) нечетная функция, т.е. f(-x)=-f(x), то .

Например, т.к.

Поэтому

Тема 2.7 Геометрические приложения определенного интеграла.

2.7.1. Площадь, ограниченная плоской кривой.

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение. Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак. Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Е сли f(x)>0 на [a;b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции ABCD:

Примеры

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Первый и важнейший момент решения – построение чертежа.

Выполним чертеж:

• уравнение y=0 задает ось «иксов»;

• х=-2 и х=1 – прямые, параллельные оси Оу;

• у=х²+2 – парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0;2).

Замечание. Для построения параболы достаточно найти точки ее пересечения с координатными осями, т.е. положив х=0 найти пересечение с осью Оу и решив соответствующее квадратное уравнение, найти пересечение с осью Ох. Вершину параболы можно найти по формулам:

Можно построить линии и поточечно.

На отрезке [-2;1]   график функции y=x²+2 расположен над осью Ox, поэтому:

Ответ: S=9 кв.ед.

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью Ох?

b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-e^x, x=1 и координатными осями.

Р ешение.

Выполним чертеж.

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох, то её площадь можно найти по формуле:

Ответ: S=(e-1) кв.ед.1,72 кв.ед.

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости.

с) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=2х-х², у=-х.

Решение.

Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования а=0 , верхний предел интегрирования b=3.

М

Строим заданные линии:

1.Парабола – вершина в точке (1;1); пересечение с осью Ох – точки (0;0) и (0;2).

2.Прямая – биссектриса 2-го и 4-го координатных углов.

А теперь Внимание!

Если на отрезке [a;b] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x) , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: .

И не важно, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  необходимо вычесть

ожно построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными).

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.

На отрезке [0;3] , по соответствующей формуле:

Ответ: S=4,5 кв.ед.