Раздел 2. Основы математического анализа.
Группа |
Дата |
ОП-253 |
19.03.2014 21.03.2014 |
ОП-254 |
12.03.2014 14.03.2014 |
Тема 2.6 Определенный интеграл.
2.6.1. Основные понятия.
П
усть
функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a;b].
Разделим отрезок [a;b]
на n
произвольных частей точками
Выберем на каждом элементарном отрезке
произвольную точку
(кси)
и найдем длину каждого такого отрезка
Определение. Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a;b] называется сумма вида:
Определение. Определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Концы a,b отрезка (промежутка интегрирования) называются пределами интегрирования (a – нижний; b – верхний).
2.6.2. Свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции, т.к. определенный интеграл от суммы является числом.
Следствие.
.
Данное соотношение устанавливает связь между определенным и соответствующим неопределенным интегралом.
Формальная разница между определенным и неопределенным интегралом в том, что определенный интеграл – число, а неопределенный интеграл – функция.
Свойство 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
.
Свойство 3. При перестановке пределов
интегрирования определенный интеграл
меняет свой знак: 
.
Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
.
Свойство 5. Определенный интеграл
от алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен такой же
алгебраической сумме определенных
интегралов от этих функций. 
.
Свойство 6. Если взять точку с, лежащую внутри отрезка [a;b], то
Свойство 7. Если
,то
С
войство
8.
2.6.3.Формула Ньютона-Лейбница.
Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями - интегральные суммы имеют громоздкий характер и их трудно преобразовать к виду удобному для вычисления интегралов. По крайней мере, нет общих методов, как это сделать. Каждая задача решалась индивидуально, пока Ньютону и Лейбницу не удалось показать, что вычисление определенного интеграла от функции можно свести к отысканию ее первообразной.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и функция F(x) является ее некоторой первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница:
,
т.е. интеграл от дифференциала функции
F(x)
равен приращению этой функции на
промежутке интегрирования.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
Сначала находим первообразную функцию F(x) (неопределенный интеграл).
Замечание. Константа С
в определенном интеграле никогда не
добавляется. Обозначение
является
чисто техническим, и вертикальная
палочка не несет никакого математического
смысла, по сути – это просто отчёркивание.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a).
4) Рассчитываем разность F(b)-F(a), то есть, находим число.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например, интеграла
не существует, поскольку отрезок
интегрирования [-5;-2] не входит в
область определения подынтегральной
функции (значения под квадратным корнем
не могут быть отрицательными). А вот
менее очевидный пример:
.
Такого интеграла тоже не существует,
так как в точках
отрезка [-2;3] не существует тангенса.
Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
Из вышесказанного следует: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл.
Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.
Примеры.
а) Вычислить интеграл
.
Решение.
Так как для функции f(x)=sin(x)
функция F(x)=-cos(х)
является первообразной, то, применяя
формулу Ньютона – Лейбница можем
вычислить данный определенный интеграл:
.
b) Вычислить
определенный интеграл
Решение:
При вычислении данного интеграла используем свойство определенного интеграла, позволяющее вычислять интеграл от каждого слагаемого.
Интегрируем по таблице неопределенных интегралов, при этом все константы выносим (это можно сделать также по свойству определенного интеграла) – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, так:
с) Вычислить определенный
интеграл
Решение.
